3. ∫ 3^(1/2 x) dx

Для решения данного интеграла воспользуемся методом подстановки. Пусть

$$ u = \frac{1}{2}x$$

Тогда

$$d
u = \frac{1}{2} dx$$

$$dx = 2 d
u$$

Теперь перепишем интеграл в терминах ν:

$$\int 3^{\frac{1}{2}x} dx = \int 3^{
u} (2 d
u) = 2 \int 3^{
u} d
u$$

Интеграл от экспоненциальной функции имеет вид:

$$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C$$

В нашем случае:

$$2 \int 3^{
u} d
u = 2 \frac{3^{
u}}{\ln(3)} + C$$

Возвращаемся к переменной x:

$$2 \frac{3^{\frac{1}{2}x}}{\ln(3)} + C$$

Следовательно, интеграл равен:

Ответ: $$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}x}}{\ln(3)} + C$$