∫ (2³√x-3x²)/x² dx

Ответ: -6 / (5 * x^(5/6)) + 3/x + C

Разберем по шагам:

Шаг 1: Разделение интеграла

Исходный интеграл можно разделить на два отдельных интеграла:

\[\int \frac{2\sqrt[3]{x} - 3x^2}{x^2} dx = \int \frac{2\sqrt[3]{x}}{x^2} dx - \int \frac{3x^2}{x^2} dx\]

Шаг 2: Упрощение первого интеграла

Выражение \(\frac{\sqrt[3]{x}}{x^2}\) можно упростить, представив \(\sqrt[3]{x}\) как \(x^{\frac{1}{3}}\) и применив правило деления степеней:

\[\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^2} = x^{\frac{1}{3} - 2} = x^{\frac{1}{3} - \frac{6}{3}} = x^{-\frac{5}{3}}\]

Тогда первый интеграл будет выглядеть так:

\[\int \frac{2\sqrt[3]{x}}{x^2} dx = 2 \int x^{-\frac{5}{3}} dx\]

Шаг 3: Интегрирование первого интеграла

Применим правило интегрирования \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(n = -\frac{5}{3}\):

\[2 \int x^{-\frac{5}{3}} dx = 2 \cdot \frac{x^{-\frac{5}{3} + 1}}{-\frac{5}{3} + 1} + C = 2 \cdot \frac{x^{-\frac{2}{3}}}{-\frac{2}{3}} + C = -3x^{-\frac{2}{3}} + C\]

Или:

\[-3x^{-\frac{2}{3}} = -\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} = -\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}}\]

Шаг 4: Упрощение и интегрирование второго интеграла

Второй интеграл упрощается до:

\[\int \frac{3x^2}{x^2} dx = 3 \int dx = 3x + C\]

Шаг 5: Объединение результатов

Теперь объединим результаты интегрирования первого и второго интегралов:

\[\int \frac{2\sqrt[3]{x}}{x^2} dx - \int \frac{3x^2}{x^2} dx = -\frac{6}{5} x^{-\frac{5}{6}} - 3 \int dx = -\frac{6}{5 \sqrt[6]{x^5}} - \int 3 dx\]

Упростим выражение:

\[-\frac{6}{5} x^{-\frac{5}{6}} - 3 \int dx = -\frac{6}{5 x^{\frac{5}{6}}} - \int 3 dx = -\frac{6}{5 \sqrt[6]{x^5}} - 3 \int dx\] \[\int \frac{2\sqrt[3]{x}}{x^2} dx - \int \frac{3x^2}{x^2} dx = -3x^{-\frac{2}{3}} - 3x + C = -\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}} - 3x + C\]

Шаг 6: Приведение к общему виду

Объединяем полученные интегралы:

\[- \frac{6}{5 \cdot x^{\frac{5}{6}}} - 3 \int dx = - \frac{6}{5 \cdot x^{\frac{5}{6}}} - 3x + C\]

Поскольку \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{4}{6}\) , то в итоге получаем:

\[- \frac{6}{5 \cdot x^{\frac{5}{6}}} - 3x + C\]

Объединяем константы интегрирования и получаем окончательный результат:

Шаг 7: Запишем интеграл \( \int \frac{3}{x^2} dx = \frac{-3}{x} \)

Запишем интеграл \( \int \frac{2}{\sqrt[3]{x^5}} dx = \frac{-6}{5 \cdot x^{\frac{5}{6}}} \)

Тогда получается: \( \int \frac{2\sqrt[3]{x}}{x^2} dx - \int \frac{3x^2}{x^2} dx = \frac{-6}{5 \cdot x^{\frac{5}{6}}} - \frac{-3}{x} + C\)

Избавимся от двойного отрицания :

Тогда получается: \( \int \frac{2\sqrt[3]{x}}{x^2} dx - \int \frac{3x^2}{x^2} dx = \frac{-6}{5 \cdot x^{\frac{5}{6}}} + \frac{3}{x} + C\)

Ответ: -6 / (5 * x^(5/6)) + 3/x + C