6) ∫ cos 3xdx; B) ∫ ln xdx. 0 1

Ответ: Решаем интегралы по частям.

a) ∫ cos(3x) dx от 0 до π/18

Чтобы решить этот интеграл, мы можем использовать простой метод подстановки. Пусть u = 3x, тогда du = 3 dx, и dx = du/3. Также, когда x = 0, u = 0, и когда x = π/18, u = π/6.

Тогда, ∫ cos(3x) dx = (1/3) ∫ cos(u) du

Интеграл от cos(u) это sin(u), поэтому:

(1/3) ∫ cos(u) du = (1/3) sin(u) + C

Теперь, подставим обратно u = 3x:

(1/3) sin(3x) | от 0 до π/18 = (1/3) [sin(3 * π/18) - sin(0)] = (1/3) [sin(π/6) - 0] = (1/3) * (1/2) = 1/6

б) ∫ ln(x) dx от 1 до e

Чтобы решить этот интеграл, мы можем использовать интегрирование по частям. Интегрирование по частям – это метод, основанный на следующем уравнении:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Для интеграла ∫ ln(x) dx, мы можем выбрать u = ln(x) и dv = dx. Тогда du = (1/x) dx и v = x. Используя интегрирование по частям:

∫ ln(x) dx = x ln(x) - ∫ x * (1/x) dx = x ln(x) - ∫ 1 dx = x ln(x) - x + C

Теперь, найдем определенный интеграл от 1 до e:

[x ln(x) - x] | от 1 до e = [e ln(e) - e] - [1 ln(1) - 1] = [e * 1 - e] - [1 * 0 - 1] = [e - e] - [0 - 1] = 0 - (-1) = 1

Ответ: a) 1/6, b) 1