∫ dx / (5x-1)^3 =

Разбираемся:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Замена переменной
  Пусть \( u = 5x - 1 \), тогда \( du = 5 dx \), и следовательно, \( dx = \frac{1}{5} du \).
• Шаг 2: Преобразование интеграла
  Интеграл принимает вид:
  \[ \int \frac{1}{5} \cdot \frac{du}{u^3} = \frac{1}{5} \int u^{-3} du \]
• Шаг 3: Интегрирование
  Применяем формулу интегрирования \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):
  \[ \frac{1}{5} \int u^{-3} du = \frac{1}{5} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{10u^2} + C \]
• Шаг 4: Возврат к исходной переменной
  Подставляем \( u = 5x - 1 \) обратно:
  \[ -\frac{1}{10(5x - 1)^2} + C \]

Ответ: \[ -\frac{1}{10(5x - 1)^2} + C \]