2. ∫ 2x² xdx =

Для решения этого интеграла воспользуемся методом замены переменной.

Пусть u = x², тогда du = 2xdx. Выразим xdx через du: xdx = du/2.

Тогда интеграл примет вид:

$$\int 2^{x^2} x dx = \int 2^u \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int 2^u du$$

Теперь можем воспользоваться формулой для интеграла экспоненциальной функции:

$$\frac{1}{2} \int 2^u du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2^u}{\ln 2} + C$$

Вернемся к переменной x:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{2^{x^2}}{\ln 2} + C = \frac{2^{x^2}}{2 \ln 2} + C$$

Итого:

$$\int 2^{x^2} x dx = \frac{2^{x^2}}{2 \ln 2} + C$$

Ответ: $$\frac{2^{x^2}}{2 \ln 2} + C$$