∫ (5x-3)/(x^2-6x+18) dx

Разбираемся с интегралом: ∫ (5x-3)/(x²-6x+18) dx. Логика такая: нужно привести числитель к виду производной знаменателя плюс константа.

Пошаговое решение:

1. Преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат:
   x² - 6x + 18 = (x - 3)² + 9
2. Производная знаменателя равна: (x² - 6x + 18)' = 2x - 6.
3. Представим числитель в виде: 5x - 3 = A(2x - 6) + B.
   Раскрываем скобки: 5x - 3 = 2Ax - 6A + B
4. Приравниваем коэффициенты:
   2A = 5 => A = 5/2
   -6A + B = -3 => B = -3 + 6A = -3 + 6 * (5/2) = -3 + 15 = 12
5. Тогда исходный интеграл можно переписать в виде:
   ∫ (5x-3)/(x²-6x+18) dx = ∫ ((5/2)(2x-6) + 12)/((x-3)²+9) dx = (5/2) ∫ (2x-6)/((x-3)²+9) dx + 12 ∫ 1/((x-3)²+9) dx
6. Первый интеграл решается заменой u = (x-3)²+9, du = (2x-6)dx:
   (5/2) ∫ (2x-6)/((x-3)²+9) dx = (5/2) ∫ 1/u du = (5/2) ln|u| + C = (5/2) ln|(x-3)²+9| + C
7. Второй интеграл решается с помощью табличного интеграла ∫ 1/(u²+a²) du = (1/a) arctg(u/a) + C:
   12 ∫ 1/((x-3)²+9) dx = 12 ∫ 1/((x-3)²+3²) dx = 12 * (1/3) arctg((x-3)/3) + C = 4 arctg((x-3)/3) + C
8. Объединяем результаты:
   ∫ (5x-3)/(x²-6x+18) dx = (5/2) ln(x²-6x+18) + 4 arctg((x-3)/3) + C

Ответ: (5/2) ln(x²-6x+18) + 4 arctg((x-3)/3) + C