∫36cos²tsin²t(cos²t+sin²t)

Привет! Разбираемся с интегралом. Смотри, как это работает:

У нас есть интеграл: ∫36cos²(t)sin²(t)(cos²(t)+sin²(t)) dt

Ключевой момент: cos²(t) + sin²(t) = 1, поэтому интеграл упрощается:

∫36cos²(t)sin²(t) dt

Теперь давай вспомним формулу двойного угла для синуса: sin(2t) = 2sin(t)cos(t). Значит, sin(t)cos(t) = sin(2t)/2.

Используем эту формулу, чтобы упростить наш интеграл:

36∫cos²(t)sin²(t) dt = 36∫(sin(2t)/2)² dt = 36∫(sin²(2t)/4) dt = 9∫sin²(2t) dt

Теперь нужно избавиться от квадрата синуса. Вспоминаем ещё одну тригонометрическую формулу: sin²(x) = (1 - cos(2x))/2.

Применяем её к нашему интегралу:

9∫sin²(2t) dt = 9∫(1 - cos(4t))/2 dt = (9/2)∫(1 - cos(4t)) dt

Теперь интегрируем по частям:

(9/2)∫(1 - cos(4t)) dt = (9/2) [∫1 dt - ∫cos(4t) dt] = (9/2) [t - (sin(4t)/4)] + C

Итоговый ответ:

(9/2)t - (9/8)sin(4t) + C