2.∫(Sin^x/2 + 3/√x²+4 + 4/4-x²)dx

Ответ: ∫(sin(x/2) + 3/√(x²+4) + 4/(4-x²)) dx

Пошаговое решение:

1. Разбиваем интеграл на сумму трех интегралов: \[\int \left(\sin \frac{x}{2} + \frac{3}{\sqrt{x^2+4}} + \frac{4}{4-x^2}\right) dx = \int \sin \frac{x}{2} dx + \int \frac{3}{\sqrt{x^2+4}} dx + \int \frac{4}{4-x^2} dx\]
2. Вычисляем первый интеграл: \[\int \sin \frac{x}{2} dx\] Делаем замену \(u = \frac{x}{2}\), тогда \(du = \frac{1}{2} dx\) и \(dx = 2 du\). Интеграл принимает вид: \[\int \sin u \cdot 2 du = 2 \int \sin u du = -2 \cos u + C_1 = -2 \cos \frac{x}{2} + C_1\]
3. Вычисляем второй интеграл: \[\int \frac{3}{\sqrt{x^2+4}} dx = 3 \int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} dx\] Используем формулу \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \operatorname{arsinh} \frac{x}{a} + C\), где \(a = 2\): \[3 \int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} dx = 3 \operatorname{arsinh} \frac{x}{2} + C_2\]
4. Вычисляем третий интеграл: \[\int \frac{4}{4-x^2} dx = 4 \int \frac{1}{4-x^2} dx\] Используем разложение на простые дроби: \[\frac{1}{4-x^2} = \frac{1}{(2-x)(2+x)} = \frac{A}{2-x} + \frac{B}{2+x}\] Находим A и B: \[1 = A(2+x) + B(2-x)\] При \(x = 2\): \(1 = 4A\), следовательно, \(A = \frac{1}{4}\). При \(x = -2\): \(1 = 4B\), следовательно, \(B = \frac{1}{4}\). Тогда: \[\frac{1}{4-x^2} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2-x} + \frac{1}{2+x}\right)\] Интеграл принимает вид: \[4 \int \frac{1}{4-x^2} dx = 4 \cdot \frac{1}{4} \int \left(\frac{1}{2-x} + \frac{1}{2+x}\right) dx = \int \frac{1}{2-x} dx + \int \frac{1}{2+x} dx\] \[= -\ln |2-x| + \ln |2+x| + C_3 = \ln \left|\frac{2+x}{2-x}\right| + C_3\]
5. Собираем все интегралы вместе: \[\int \sin \frac{x}{2} dx + \int \frac{3}{\sqrt{x^2+4}} dx + \int \frac{4}{4-x^2} dx = -2 \cos \frac{x}{2} + 3 \operatorname{arsinh} \frac{x}{2} + \ln \left|\frac{2+x}{2-x}\right| + C\]

Ответ: -2cos(x/2) + 3arsinh(x/2) + ln|(2+x)/(2-x)| + C