2 ∫ sin3x dx cos4 3x e3x(x - 7)dx

Решение первого интеграла:

\[\int \frac{\sin 3x}{\cos^4 3x} dx\]

Пусть \(u = \cos 3x\), тогда \(du = -3 \sin 3x dx\). Значит, \(\sin 3x dx = -\frac{1}{3} du\).

Подставляем в интеграл:

\[\int \frac{\sin 3x}{\cos^4 3x} dx = \int \frac{-\frac{1}{3} du}{u^4} = -\frac{1}{3} \int u^{-4} du\]

Интегрируем:

\[-\frac{1}{3} \int u^{-4} du = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-3}}{-3} + C = \frac{1}{9} u^{-3} + C = \frac{1}{9 \cos^3 3x} + C\]

Решение второго интеграла:

\[\int e^{3x}(x - 7) dx\]

Применим интегрирование по частям: \(\int u dv = uv - \int v du\).

Пусть \(u = x - 7\), тогда \(du = dx\). Пусть \(dv = e^{3x} dx\), тогда \(v = \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x}\).

Подставляем в формулу:

\[\int e^{3x}(x - 7) dx = \frac{1}{3} e^{3x} (x - 7) - \int \frac{1}{3} e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} (x - 7) - \frac{1}{3} \int e^{3x} dx\]

Интегрируем:

\[\frac{1}{3} e^{3x} (x - 7) - \frac{1}{3} \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} (x - 7) - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} e^{3x} + C = \frac{1}{3} e^{3x} (x - 7) - \frac{1}{9} e^{3x} + C\]

Упрощаем:

\[\frac{1}{3} e^{3x} (x - 7) - \frac{1}{9} e^{3x} + C = \frac{1}{3} e^{3x} x - \frac{7}{3} e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x} + C = \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{22}{9} e^{3x} + C\]