3.23) ∫tg 2x ⋅ cos 7x²

Решение

Рассмотрим интеграл: ∫ tg(2x) \(\cdot\) cos(7x²) dx

Введем замену переменной: t = 7x²

Тогда dt = 14x dx

Выразим x dx: x dx = dt/14

Заметим, что tg(2x) = sin(2x) / cos(2x), поэтому исходный интеграл можно переписать как:

∫ (sin(2x) / cos(2x)) \(\cdot\) cos(7x²) dx

Выразим sin(2x) через x: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), тогда

∫ (2 sin(x) cos(x) / cos(2x)) \(\cdot\) cos(7x²) dx

Заметим, что для нашей замены переменной t = 7x², нам нужно x dx, поэтому преобразуем интеграл:

∫ tg(2x) cos(7x²) dx = ∫ (tg(2x) cos(7x²))/(x) * x dx = ∫ (tg(2x) cos(t))/(x) * dt/14

Но tg(2x)/x не выражается через t, поэтому необходима другая замена переменной.

Заметим, что производная от x² равна 2x, поэтому можно попробовать такую замену: u = x²

Тогда du = 2x dx, следовательно x dx = du/2

∫ tg(2x) cos(7x²) dx = ∫ (sin(2x)/cos(2x)) cos(7x²) dx

∫ (sin(2x)/cos(2x)) cos(7x²) dx = ∫ (sin(2x)/cos(2x)) cos(7u) dx

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Следовательно, ∫ (2sin(x)cos(x)/cos(2x)) cos(7u) dx

Данный интеграл не решается в элементарных функциях.

Пусть ∫ tg(2x) \(\cdot\) cos(7x²) dx = F(x) + C

Тогда F'(x) = tg(2x) \(\cdot\) cos(7x²)

Ответ: ∫ tg(2x) \(\cdot\) cos(7x²) dx = ∫ tg(2x)cos(7x²)dx

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что правильно выполнена замена переменной и преобразования интеграла.

Доп. профит: Редфлаг - Будьте внимательны при выборе замены переменной, чтобы упростить интеграл. Иногда может потребоваться несколько попыток, чтобы найти подходящую замену.