Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1. ∫(3x² + 5)dx 2. ∫(5x3 - x) dx 2 1. 3. ∫ x² (x-2) dx 1 4. ∫dx 3 1 5.-)dx 2 6.dx. x3+1
Ответ:
Привет! Сейчас я тебе помогу с этими задачками по интегрированию. Не переживай, все получится!
- \(\int (3x^2 + 5) dx\)
Давай разберем по порядку:
\(\int (3x^2 + 5) dx = 3 \int x^2 dx + 5 \int dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 5x + C = x^3 + 5x + C\)
Ответ: \(x^3 + 5x + C\)
- \(\int (5x^3 - x) dx\)
Сначала найдем интеграл:
\(\int (5x^3 - x) dx = 5 \int x^3 dx - \int x dx = 5 \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + C = \frac{5x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + C\)
Ответ: \(\frac{5x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + C\)
- \(\int x^2 (x - \frac{1}{2}) dx\)
Раскроем скобки и проинтегрируем:
\(\int x^2 (x - \frac{1}{2}) dx = \int (x^3 - \frac{1}{2}x^2) dx = \int x^3 dx - \frac{1}{2} \int x^2 dx = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{6} + C\)
Ответ: \(\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{6} + C\)
- \(\int \frac{1}{\sqrt{x^3}} dx\)
Преобразуем и найдем интеграл:
\(\int \frac{1}{\sqrt{x^3}} dx = \int x^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} + C = -2x^{-\frac{1}{2}} + C = -\frac{2}{\sqrt{x}} + C\)
Ответ: \(-\frac{2}{\sqrt{x}} + C\)
- \(\int (\frac{2}{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}) dx\)
Проинтегрируем:
\(\int (\frac{2}{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}) dx = 2 \int x^{-2} dx - \int x^{-\frac{1}{2}} dx = 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -\frac{2}{x} - 2\sqrt{x} + C\)
Ответ: \(-\frac{2}{x} - 2\sqrt{x} + C\)
- \(\int \frac{x^2}{x^3 + 1} dx\)
Заметим, что производная знаменателя равна \(3x^2\). Попробуем сделать замену:
Пусть \(u = x^3 + 1\), тогда \(du = 3x^2 dx\), и \(x^2 dx = \frac{1}{3} du\)
Тогда интеграл равен:
\(\int \frac{x^2}{x^3 + 1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln |u| + C = \frac{1}{3} \ln |x^3 + 1| + C\)
Ответ: \(\frac{1}{3} \ln |x^3 + 1| + C\)
Молодец, ты отлично справляешься! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!
