3 ⋅ 9^(−1/2) − 7 ⋅ 6^ + 3 ⋅ 4^(+1) = 0. 6. a.) Решите уравнение

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Упростим уравнение, используя свойства степеней.

  \[3 \cdot 9^{x-\frac{1}{2}} - 7 \cdot 6^x + 3 \cdot 4^{x+1} = 0\]

  \[3 \cdot 9^x \cdot 9^{-\frac{1}{2}} - 7 \cdot 6^x + 3 \cdot 4^x \cdot 4^1 = 0\]

  \[3 \cdot 9^x \cdot \frac{1}{\sqrt{9}} - 7 \cdot 6^x + 12 \cdot 4^x = 0\]

  \[3 \cdot 9^x \cdot \frac{1}{3} - 7 \cdot 6^x + 12 \cdot 4^x = 0\]

  \[9^x - 7 \cdot 6^x + 12 \cdot 4^x = 0\]

• Шаг 2: Разделим обе части уравнения на 4^x.

  \[\frac{9^x}{4^x} - 7 \cdot \frac{6^x}{4^x} + 12 \cdot \frac{4^x}{4^x} = 0\]

  \[\left(\frac{9}{4}\right)^x - 7 \cdot \left(\frac{6}{4}\right)^x + 12 = 0\]

  \[\left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - 7 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 12 = 0\]

• Шаг 3: Сделаем замену переменной.

  Пусть \(t = \left(\frac{3}{2}\right)^x\), тогда уравнение примет вид:

  \[t^2 - 7t + 12 = 0\]

• Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

  Найдем дискриминант:

  \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\]

  Найдем корни:

  \[t_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = 4\]

  \[t_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = 3\]

• Шаг 5: Вернемся к исходной переменной.

  1) \(\left(\frac{3}{2}\right)^x = 4\)

  \[x = \log_{\frac{3}{2}} 4 = \frac{\ln 4}{\ln \frac{3}{2}} = \frac{\ln 4}{\ln 3 - \ln 2}\]

  2) \(\left(\frac{3}{2}\right)^x = 3\)

  \[x = \log_{\frac{3}{2}} 3 = \frac{\ln 3}{\ln \frac{3}{2}} = \frac{\ln 3}{\ln 3 - \ln 2}\]

Ответ: \(x = \frac{\ln 4}{\ln 3 - \ln 2}\) или \(x = \frac{\ln 3}{\ln 3 - \ln 2}\)