5 ⋅ 3^(2x) + 7 ⋅ 15^x - 6 ⋅ 25^x = 0

Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя свойства степеней. Заметим, что 15 = 3 ⋅ 5 и 25 = 5^2. Тогда уравнение можно переписать как: \[ 5 \cdot (3^{2x}) + 7 \cdot (3 \cdot 5)^x - 6 \cdot (5^2)^x = 0 \] Шаг 2: Разделим обе части уравнения на 5, получим: \[ 3^{2x} + \frac{7}{5} \cdot 3^x \cdot 5^x - \frac{6}{5} \cdot 5^{2x} = 0 \] Шаг 3: Разделим обе части уравнения на 5^{2x} (так как 5^{2x} ≠ 0): \[ \frac{3^{2x}}{5^{2x}} + \frac{7}{5} \cdot \frac{3^x \cdot 5^x}{5^{2x}} - \frac{6}{5} \cdot \frac{5^{2x}}{5^{2x}} = 0 \] \[ (\frac{3}{5})^{2x} + \frac{7}{5} \cdot (\frac{3}{5})^x - \frac{6}{5} = 0 \] Шаг 4: Введем замену переменной: пусть t = (3/5)^x. Тогда уравнение примет вид: \[ t^2 + \frac{7}{5}t - \frac{6}{5} = 0 \] Шаг 5: Решим квадратное уравнение. Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от дробей: \[ 5t^2 + 7t - 6 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169 \] Тогда корни: \[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 + 13}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \] \[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 - 13}{10} = \frac{-20}{10} = -2 \] Шаг 6: Вернемся к исходной переменной: 1) (3/5)^x = 3/5, тогда x = 1 2) (3/5)^x = -2 - не имеет решений, так как показательная функция всегда положительна.