Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
①\begin{cases}2x-y=1\\xy =21\end{cases} ②\begin{cases}2x-y=2\\2x^2-xy=6\end{cases} ③\begin{cases}x^2-y^2=21\\x+y^2=3\end{cases} ④\begin{cases}x^2+y^2=13\\xy=-6\end{cases} ⑤\begin{cases}(x-1)(y+3)=5\\3x-y=4\end{cases}
Ответ:
Привет! Давай решим эти системы уравнений по порядку!
1. Система уравнений:
\[\begin{cases}2x-y=1\\xy =21\end{cases}\] Выразим \( y \) из первого уравнения: \[y = 2x - 1\] Подставим это во второе уравнение: \[x(2x - 1) = 21\] Раскроем скобки и получим квадратное уравнение: \[2x^2 - x - 21 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 1 + 168 = 169\] Тогда корни уравнения: \[x_1 = \frac{1 + \sqrt{169}}{4} = \frac{1 + 13}{4} = \frac{14}{4} = 3.5\] \[x_2 = \frac{1 - \sqrt{169}}{4} = \frac{1 - 13}{4} = \frac{-12}{4} = -3\] Теперь найдем соответствующие значения \( y \): Для \( x_1 = 3.5 \): \[y_1 = 2 \cdot 3.5 - 1 = 7 - 1 = 6\] Для \( x_2 = -3 \): \[y_2 = 2 \cdot (-3) - 1 = -6 - 1 = -7\] Ответ: \((3.5, 6), (-3, -7)\)2. Система уравнений:
\[\begin{cases}2x-y=2\\2x^2-xy=6\end{cases}\] Выразим \( y \) из первого уравнения: \[y = 2x - 2\] Подставим это во второе уравнение: \[2x^2 - x(2x - 2) = 6\] Раскроем скобки: \[2x^2 - 2x^2 + 2x = 6\] \[2x = 6\] \[x = 3\] Теперь найдем \( y \): \[y = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4\] Ответ: \((3, 4)\)3. Система уравнений:
\[\begin{cases}x^2-y^2=21\\x+y^2=3\end{cases}\] Выразим \( y^2 \) из второго уравнения: \[y^2 = 3 - x\] Подставим это в первое уравнение: \[x^2 - (3 - x) = 21\] \[x^2 + x - 3 = 21\] \[x^2 + x - 24 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 1 + 96 = 97\] Тогда корни уравнения: \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{97}}{2}\] \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{97}}{2}\] Теперь найдем соответствующие значения \( y^2 \): Для \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{97}}{2} \): \[y_1^2 = 3 - \frac{-1 + \sqrt{97}}{2} = \frac{6 + 1 - \sqrt{97}}{2} = \frac{7 - \sqrt{97}}{2}\] Для \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{97}}{2} \): \[y_2^2 = 3 - \frac{-1 - \sqrt{97}}{2} = \frac{6 + 1 + \sqrt{97}}{2} = \frac{7 + \sqrt{97}}{2}\] Теперь найдем \( y \): Для \( y_1 \) имеем два значения: \[y_1 = \pm \sqrt{\frac{7 - \sqrt{97}}{2}}\] Для \( y_2 \) имеем два значения: \[y_2 = \pm \sqrt{\frac{7 + \sqrt{97}}{2}}\] Ответ: \(\left(\frac{-1 + \sqrt{97}}{2}, \pm \sqrt{\frac{7 - \sqrt{97}}{2}}\right), \left(\frac{-1 - \sqrt{97}}{2}, \pm \sqrt{\frac{7 + \sqrt{97}}{2}}\right)\)4. Система уравнений:
\[\begin{cases}x^2+y^2=13\\xy=-6\end{cases}\] Выразим \( y \) из второго уравнения: \[y = -\frac{6}{x}\] Подставим это в первое уравнение: \[x^2 + \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 13\] \[x^2 + \frac{36}{x^2} = 13\] Умножим обе части на \( x^2 \): \[x^4 + 36 = 13x^2\] Перенесем все в одну сторону: \[x^4 - 13x^2 + 36 = 0\] Обозначим \( z = x^2 \), тогда: \[z^2 - 13z + 36 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\] Тогда корни уравнения: \[z_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[z_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\] Теперь найдем \( x \): Для \( z_1 = 9 \): \[x_1 = \pm \sqrt{9} = \pm 3\] Для \( z_2 = 4 \): \[x_2 = \pm \sqrt{4} = \pm 2\] Теперь найдем соответствующие значения \( y \): Для \( x_1 = 3 \): \[y_1 = -\frac{6}{3} = -2\] Для \( x_2 = -3 \): \[y_2 = -\frac{6}{-3} = 2\] Для \( x_3 = 2 \): \[y_3 = -\frac{6}{2} = -3\] Для \( x_4 = -2 \): \[y_4 = -\frac{6}{-2} = 3\] Ответ: \((3, -2), (-3, 2), (2, -3), (-2, 3)\)5. Система уравнений:
\[\begin{cases}(x-1)(y+3)=5\\3x-y=4\end{cases}\] Выразим \( y \) из второго уравнения: \[y = 3x - 4\] Подставим это в первое уравнение: \[(x - 1)(3x - 4 + 3) = 5\] \[(x - 1)(3x - 1) = 5\] Раскроем скобки: \[3x^2 - x - 3x + 1 = 5\] \[3x^2 - 4x + 1 = 5\] \[3x^2 - 4x - 4 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64\] Тогда корни уравнения: \[x_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{6} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2\] \[x_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{6} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\] Теперь найдем соответствующие значения \( y \): Для \( x_1 = 2 \): \[y_1 = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2\] Для \( x_2 = -\frac{2}{3} \): \[y_2 = 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) - 4 = -2 - 4 = -6\] Ответ: \((2, 2), \left(-\frac{2}{3}, -6\right)\)Ответ: Все решения выше.
Отлично! Ты справился с решением этих систем уравнений. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!