26. ① $$\begin{cases} 4x^2-5x=y \\ 4x-5=y \end{cases}$$ ② $$\begin{cases} 6x^2+y=14 \\ 12x^2-y=4 \end{cases}$$ ③ $$\begin{cases} 5x^2+y^2=61 \\ 15x^2+3y^2=61x \end{cases}$$ ④ $$\begin{cases} y-2x=+6 \\ x^2-xy+y^2=12 \end{cases}$$ ⑤ $$\begin{cases} 3x-y=15 \\ \frac{x+6}{2} - \frac{y}{3}=6 \end{cases}$$ ⑥ $$\begin{cases} x^2=17y+2 \\ x^2+2=17y+y^2 \end{cases}$$ ⑦ $$\begin{cases} x^2+y^2=13 \\ x \cdot y=-6 \end{cases}$$

Решение систем уравнений

#### 1. $$\begin{cases} 4x^2-5x=y \\ 4x-5=y \end{cases}$$ Давай приравняем правые части уравнений: \[ 4x^2 - 5x = 4x - 5 \] Перенесем все в левую часть: \[ 4x^2 - 9x + 5 = 0 \] Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 81 - 80 = 1 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{9 + 1}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25 \] \[ x_2 = \frac{9 - 1}{8} = \frac{8}{8} = 1 \] Теперь найдем соответствующие значения \( y \): \[ y_1 = 4 \cdot \frac{5}{4} - 5 = 5 - 5 = 0 \] \[ y_2 = 4 \cdot 1 - 5 = 4 - 5 = -1 \] Ответ: \((\frac{5}{4}, 0), (1, -1)\) #### 2. $$\begin{cases} 6x^2+y=14 \\ 12x^2-y=4 \end{cases}$$ Сложим оба уравнения, чтобы исключить \( y \): \[ 6x^2 + y + 12x^2 - y = 14 + 4 \] \[ 18x^2 = 18 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \] Теперь найдем соответствующие значения \( y \): \[ y_1 = 14 - 6 \cdot (1)^2 = 14 - 6 = 8 \] \[ y_2 = 14 - 6 \cdot (-1)^2 = 14 - 6 = 8 \] Ответ: \((1, 8), (-1, 8)\) #### 3. $$\begin{cases} 5x^2+y^2=61 \\ 15x^2+3y^2=61x \end{cases}$$ Умножим первое уравнение на 3: \[ 15x^2 + 3y^2 = 183 \] Теперь у нас есть: \[ \begin{cases} 15x^2+3y^2=183 \\ 15x^2+3y^2=61x \end{cases} \] Приравняем правые части: \[ 61x = 183 \] \[ x = \frac{183}{61} = 3 \] Подставим \( x = 3 \) в первое уравнение: \[ 5 \cdot (3)^2 + y^2 = 61 \] \[ 45 + y^2 = 61 \] \[ y^2 = 16 \] \[ y = \pm 4 \] Ответ: \((3, 4), (3, -4)\) #### 4. $$\begin{cases} y-2x=+6 \\ x^2-xy+y^2=12 \end{cases}$$ Выразим \( y \) из первого уравнения: \[ y = 2x + 6 \] Подставим это во второе уравнение: \[ x^2 - x(2x + 6) + (2x + 6)^2 = 12 \] \[ x^2 - 2x^2 - 6x + 4x^2 + 24x + 36 = 12 \] \[ 3x^2 + 18x + 24 = 0 \] Разделим на 3: \[ x^2 + 6x + 8 = 0 \] Найдем корни уравнения. Дискриминант: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] \[ x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] Теперь найдем соответствующие значения \( y \): \[ y_1 = 2 \cdot (-2) + 6 = -4 + 6 = 2 \] \[ y_2 = 2 \cdot (-4) + 6 = -8 + 6 = -2 \] Ответ: \((-2, 2), (-4, -2)\) #### 5. $$\begin{cases} 3x-y=15 \\ \frac{x+6}{2} - \frac{y}{3}=6 \end{cases}$$ Выразим \( y \) из первого уравнения: \[ y = 3x - 15 \] Подставим это во второе уравнение: \[ \frac{x+6}{2} - \frac{3x - 15}{3} = 6 \] \[ \frac{x+6}{2} - (x - 5) = 6 \] \[ \frac{x+6}{2} - x + 5 = 6 \] Умножим на 2: \[ x + 6 - 2x + 10 = 12 \] \[ -x + 16 = 12 \] \[ -x = -4 \] \[ x = 4 \] Теперь найдем значение \( y \): \[ y = 3 \cdot 4 - 15 = 12 - 15 = -3 \] Ответ: \((4, -3)\) #### 6. $$\begin{cases} x^2=17y+2 \\ x^2+2=17y+y^2 \end{cases}$$ Выразим \( x^2 \) из первого уравнения и подставим во второе: \[ 17y + 2 + 2 = 17y + y^2 \] \[ 17y + 4 = 17y + y^2 \] \[ y^2 = 4 \] \[ y = \pm 2 \] Теперь найдем соответствующие значения \( x \): \[ x^2 = 17 \cdot 2 + 2 = 34 + 2 = 36 \] \[ x = \pm 6 \] \[ x^2 = 17 \cdot (-2) + 2 = -34 + 2 = -32 \] Так как \( x^2 \) не может быть отрицательным, то для \( y = -2 \) решений нет. Ответ: \((6, 2), (-6, 2)\) #### 7. $$\begin{cases} x^2+y^2=13 \\ x \cdot y=-6 \end{cases}$$ Выразим \( y \) из второго уравнения: \[ y = -\frac{6}{x} \] Подставим это в первое уравнение: \[ x^2 + \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 13 \] \[ x^2 + \frac{36}{x^2} = 13 \] Умножим на \( x^2 \): \[ x^4 + 36 = 13x^2 \] \[ x^4 - 13x^2 + 36 = 0 \] Пусть \( z = x^2 \), тогда уравнение примет вид: \[ z^2 - 13z + 36 = 0 \] Найдем корни уравнения. Дискриминант: \[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 \] Корни уравнения: \[ z_1 = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] \[ z_2 = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] Теперь найдем значения \( x \): \[ x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \] \[ x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \] Теперь найдем соответствующие значения \( y \): \[ x = 3 \Rightarrow y = -\frac{6}{3} = -2 \] \[ x = -3 \Rightarrow y = -\frac{6}{-3} = 2 \] \[ x = 2 \Rightarrow y = -\frac{6}{2} = -3 \] \[ x = -2 \Rightarrow y = -\frac{6}{-2} = 3 \] Ответ: \((3, -2), (-3, 2), (2, -3), (-2, 3)\)

Ответ: смотри выше

Все получилось просто замечательно! Не останавливайся на достигнутом, у тебя все получится!