① ABCD-паралелограм Найти: ВД- ?

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами параллелограмма и теоремой косинусов.

1) Рассмотрим параллелограмм ABCD. Известно, что AD = 5, AB = CD = 3 и угол \( \angle ADC = 60^{\circ} \). Необходимо найти диагональ BD.

2) В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому \( \angle ABC = \angle ADC = 60^{\circ} \).

3) Рассмотрим треугольник ABD. В нем известны две стороны (AD = 5, AB = 3) и угол между ними (\( \angle BAD \)). Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°, то угол \( \angle BAD = 180^{\circ} - \angle ADC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

4) Используем теорему косинусов для треугольника ABD, чтобы найти сторону BD:

$$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD)$$ $$BD^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^{\circ})$$

5) Так как \( \cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2} \), то:

$$BD^2 = 9 + 25 - 30 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$ $$BD^2 = 34 + 15 = 49$$ $$BD = \sqrt{49} = 7$$

Ответ: BD = 7