① Докажите, что треугольник ABC является равнобедренным, если A (0; 1), B (1; -4), C (5; 2) ② Найдите координаты и длину вектора а, если а = 2x - 3ỷ и х (3; −4), ў (-1; -2) ③ Точки К и Р лежат на сторонах AD и ВС соответственно параллелограмма ABCD, причем АК = KD, BP : PC = 7: 2. а) Выразите вектор КР через векторы т = АВ и п = AD. б) Может ли при каком-нибудь значении х выполняться равенство KP = x. CD?

Задание ①

Для доказательства, что треугольник ABC является равнобедренным, нужно показать, что две стороны треугольника равны. Найдем длины сторон AB, BC и AC.

Длина стороны вычисляется по формуле: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

1. Длина стороны AB:

\[ AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \]

2. Длина стороны BC:

\[ BC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

3. Длина стороны AC:

\[ AC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \]

Так как AB = AC = √26, то треугольник ABC является равнобедренным.

Ответ: Треугольник ABC равнобедренный, так как AB = AC.

Задание ②

Найдем координаты вектора a = 2x - 3y, где x(3; -4), y(-1; -2).

Сначала найдем координаты вектора 2x и 3y:

\[ 2\vec{x} = 2(3; -4) = (6; -8) \]

\[ 3\vec{y} = 3(-1; -2) = (-3; -6) \]

Теперь найдем координаты вектора a = 2x - 3y:

\[ \vec{a} = (6 - (-3); -8 - (-6)) = (6 + 3; -8 + 6) = (9; -2) \]

Теперь найдем длину вектора a:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{(9)^2 + (-2)^2} = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85} \]

Ответ: Координаты вектора a(9; -2), длина вектора |a| = √85.

Задание ③

Дано: K и P лежат на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD, AK = KD, BP : PC = 7 : 2.

a) Выразить вектор KP через векторы m = AB и n = AD.

Так как AK = KD, то AK = 1/2 AD = 1/2 n.

Так как BP : PC = 7 : 2, то BP = (7/9) BC = (7/9) AD = (7/9) n.

Выразим вектор KP через векторы AB и AD:

\[ \vec{KP} = \vec{KA} + \vec{AB} + \vec{BP} = -\frac{1}{2}\vec{AD} + \vec{AB} + \frac{7}{9}\vec{AD} = \vec{AB} + (\frac{7}{9} - \frac{1}{2})\vec{AD} = \vec{AB} + (\frac{14 - 9}{18})\vec{AD} = \vec{AB} + \frac{5}{18}\vec{AD} \]

Таким образом, \[ \vec{KP} = \vec{m} + \frac{5}{18}\vec{n} \]

Ответ: KP = m + (5/18) n

б) Может ли при каком-нибудь значении x выполняться равенство KP = x * CD?

Мы знаем, что KP = AB + (5/18) AD и CD = -AB (так как ABCD - параллелограмм).

Тогда уравнение KP = x * CD можно переписать как:

\[ \vec{AB} + \frac{5}{18}\vec{AD} = x(-\vec{AB}) \]

\[ \vec{AB} + \frac{5}{18}\vec{AD} = -x\vec{AB} \]

Перенесем все члены с AB в одну сторону:

\[ (1 + x)\vec{AB} = -\frac{5}{18}\vec{AD} \]

Чтобы это равенство выполнялось, векторы AB и AD должны быть коллинеарны. Однако, в параллелограмме ABCD векторы AB и AD не коллинеарны (если это не вырожденный случай, когда ABCD является отрезком прямой). Следовательно, равенство KP = x * CD может выполняться только в вырожденном случае параллелограмма, когда точки A, B, C и D лежат на одной прямой.

Ответ: Равенство может выполняться только в вырожденном случае параллелограмма.

Отлично! Ты хорошо справился с этим заданием. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать!