① Решите задачи с помощью уравнений. a) Три книги и две открытки стоят 40 рублей, а две книги и три открытки стоят 45 рублей. Сколько стоит книга, сколько стоит открытка? б) Сумма двух чисел равна 26, если первое число удвоить и прибавить первое число удвоить и прибавить второе число, умноженное на три, то получится 69. Найдите эти числа. в) В классе 31 ученик. Чтобы выдать девочкам по 3 тетради, а мальчикам по 2 тетради, потребуется 77 тетрадей. Сколько в классе девочек, и сколько мальчиков? 2) Первое число на 5 больше второго. Если из увеличенного в два раза первого числа, вычесть уменьшенное в два раза второе число, то получится 109. Найдите эти числа д) Пекарь и его ученик за час изготавливают 41 деталь. Если ученик будет работать 4 часа, а токарь 3 часа, то всего они смогут изготовить 136 деталей. Сколько деталей за 1 час изготавливает ученик, а сколько токарь?

Решение:

а)

Пусть x – стоимость книги, y – стоимость открытки. Тогда составим систему уравнений:

\[\begin{cases} 3x + 2y = 40 \\ 2x + 3y = 45 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 2, а второе – на 3:

\[\begin{cases} 6x + 4y = 80 \\ 6x + 9y = 135 \end{cases}\]

Вычтем из второго уравнения первое:

\[5y = 55\] \[y = 11\]

Подставим значение y в первое уравнение:

\[3x + 2 \cdot 11 = 40\] \[3x = 18\] \[x = 6\]

Ответ: книга стоит 6 рублей, открытка – 11 рублей.

б)

Пусть x – первое число, y – второе число. Составим систему уравнений:

\[\begin{cases} x + y = 26 \\ 2x + 3y = 69 \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения и подставим во второе:

\[x = 26 - y\] \[2(26 - y) + 3y = 69\] \[52 - 2y + 3y = 69\] \[y = 17\]

Теперь найдем x:

\[x = 26 - 17 = 9\]

Ответ: первое число 9, второе число 17.

в)

Пусть x – количество девочек, y – количество мальчиков. Тогда:

\[\begin{cases} x + y = 31 \\ 3x + 2y = 77 \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения и подставим во второе:

\[x = 31 - y\] \[3(31 - y) + 2y = 77\] \[93 - 3y + 2y = 77\] \[y = 16\]

Теперь найдем x:

\[x = 31 - 16 = 15\]

Ответ: в классе 15 девочек и 16 мальчиков.

2)

Пусть x – первое число, y – второе число. Тогда:

\[\begin{cases} x = y + 5 \\ 2x - \frac{y}{2} = 109 \end{cases}\]

Подставим выражение для x из первого уравнения во второе:

\[2(y + 5) - \frac{y}{2} = 109\] \[2y + 10 - \frac{y}{2} = 109\] \[\frac{3}{2}y = 99\] \[y = 66\]

Найдем x:

\[x = 66 + 5 = 71\]

Ответ: первое число 71, второе число 66.

д)

Пусть x – количество деталей, которые изготавливает ученик за час, y – количество деталей, которые изготавливает пекарь за час. Составим систему уравнений:

\[\begin{cases} x + y = 41 \\ 4x + 3y = 136 \end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения и подставим во второе:

\[y = 41 - x\] \[4x + 3(41 - x) = 136\] \[4x + 123 - 3x = 136\] \[x = 13\]

Теперь найдем y:

\[y = 41 - 13 = 28\]

Ответ: ученик изготавливает 13 деталей, пекарь – 28 деталей.