① Вычислить скалярное произведение векторов а иь, если: [a] = 5, 15 = 6, аль = 30° ②Найти угол между векторами ан ь, если: a = 2,16 = 7, a. b = 7√3 ③ Найтиб, если (5; - 1), 5(-2;3} ④ Β ΔΑΒC: ∠A = 45°, ∠B = 60°, BC = 3√2. Найти АС. ⑤В треугольнике две стороны равны 7 и 8, угол между этими сторонами 120°. Найдите третью сторону и площадь этого треугольника. 6 Β ΔΑΒΟ: Α(1;2) B(-3; 4) C(5; - 2). Найдите cos cos LA, cos cos ∠B, cos cos ∠C ⑦ Докажите, что АВ 1 ВС, если: А(0;1), B(2; 3), C(-1; 6)

Здравствуйте! Сейчас помогу вам решить эти задачи по геометрии. Разберем каждую задачу по порядку: 1. Вычислить скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(|\vec{a}| = 5\), \(|\vec{b}| = 6\), угол между ними 30° Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) \] где \(\alpha\) - угол между векторами. В нашем случае: \(|\vec{a}| = 5\), \(|\vec{b}| = 6\), \(\alpha = 30^\circ\) Подставляем значения: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 6 \cdot \cos(30^\circ) \] Известно, что \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \] Ответ: Скалярное произведение векторов равно \(15\sqrt{3}\). --- 2. Найти угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = 7\), \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 7\sqrt{3}\) Используем ту же формулу для скалярного произведения: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) \] Выразим \(\cos(\alpha)\): \[ \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \] Подставляем значения: \[ \cos(\alpha) = \frac{7\sqrt{3}}{2 \cdot 7} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Угол, косинус которого равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), равен 30°. \[ \alpha = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ \] Ответ: Угол между векторами равен 30°. --- 3. Найти скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\), если \(\vec{a} = \{5; -1\}\) и \(\vec{b} = \{-2; 3\}\) Скалярное произведение векторов, заданных координатами, вычисляется как сумма произведений соответствующих координат: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \] В нашем случае: \[ \vec{a} = \{5; -1\}, \vec{b} = \{-2; 3\} \] Подставляем значения: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 = -10 - 3 = -13 \] Ответ: Скалярное произведение векторов равно -13. --- 4. В треугольнике ABC: \(\angle A = 45^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\), \(BC = 3\sqrt{2}\). Найти AC. Используем теорему синусов: \[ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} \] Подставляем известные значения: \[ \frac{AC}{\sin(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)} \] Известно, что \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому: \[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] Выразим AC: \[ AC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{3} \] Ответ: Сторона AC равна \(3\sqrt{3}\). --- 5. В треугольнике две стороны равны 7 и 8, угол между этими сторонами 120°. Найдите третью сторону и площадь этого треугольника. Пусть \(a = 7\), \(b = 8\), \(\gamma = 120^\circ\). Найдем третью сторону c, используя теорему косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \] Подставляем значения: \[ c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ) \] Известно, что \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\), поэтому: \[ c^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 49 + 64 + 56 = 169 \] \[ c = \sqrt{169} = 13 \] Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma) \] Подставляем значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \sin(120^\circ) \] Известно, что \(\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3} \] Ответ: Третья сторона равна 13, площадь треугольника равна \(14\sqrt{3}\). --- 6. В треугольнике ABC: A(1;2), B(-3; 4), C(5; -2). Найдите \(\cos(\angle A)\), \(\cos(\angle B)\), \(\cos(\angle C)\). Сначала найдем стороны треугольника: \[ AB = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] \[ BC = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \] \[ AC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] Теперь используем теорему косинусов для каждого угла: \[ \cos(\angle A) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{(2\sqrt{5})^2 + (4\sqrt{2})^2 - 10^2}{2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{20 + 32 - 100}{16\sqrt{10}} = \frac{-48}{16\sqrt{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} \] \[ \cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{(2\sqrt{5})^2 + 10^2 - (4\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 10} = \frac{20 + 100 - 32}{40\sqrt{5}} = \frac{88}{40\sqrt{5}} = \frac{11}{5\sqrt{5}} \] \[ \cos(\angle C) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{(4\sqrt{2})^2 + 10^2 - (2\sqrt{5})^2}{2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 10} = \frac{32 + 100 - 20}{80\sqrt{2}} = \frac{112}{80\sqrt{2}} = \frac{7}{5\sqrt{2}} \] Ответ: \(\cos(\angle A) = -\frac{3}{\sqrt{10}}\, \cos(\angle B) = \frac{11}{5\sqrt{5}}\, \cos(\angle C) = \frac{7}{5\sqrt{2}}\,). --- 7. Докажите, что \(AB \perp BC\), если A(0;1), B(2; 3), C(-1; 6). Для доказательства перпендикулярности векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) нужно показать, что их скалярное произведение равно нулю. Найдем координаты векторов: \[ \vec{AB} = B - A = (2 - 0; 3 - 1) = (2; 2) \] \[ \vec{BC} = C - B = (-1 - 2; 6 - 3) = (-3; 3) \] Теперь найдем скалярное произведение: \[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot (-3) + 2 \cdot 3 = -6 + 6 = 0 \] Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. Ответ: Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Решения выше.

Ты молодец! У тебя всё получится! Удачи в учёбе!