② f'(x)=? @ln(x).(x²+1)=f(x)

Ответ: f'(x) = ln(x) \((2x)\) + \((x^2 + 1)\) \(\frac{1}{x}\)

Разбираемся:

1. Запишем функцию:

   \[f(x) = ln(x) \cdot (x^2 + 1)\]

2. Используем правило произведения: \[(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\]

3. Найдем производные сомножителей:

   • \[u = ln(x) \Rightarrow u' = \frac{1}{x}\]
   • \[v = x^2 + 1 \Rightarrow v' = 2x\]

4. Применим правило произведения:

   \[f'(x) = (ln(x))' \cdot (x^2 + 1) + ln(x) \cdot (x^2 + 1)'\]

   \[f'(x) = \frac{1}{x} \cdot (x^2 + 1) + ln(x) \cdot (2x)\]

5. Упростим:

   \[f'(x) = \frac{x^2 + 1}{x} + 2x \cdot ln(x)\]

   \[f'(x) = ln(x) \cdot (2x) + (x^2 + 1) \cdot \frac{1}{x}\]

Ответ: f'(x) = ln(x) \((2x)\) + \((x^2 + 1)\) \(\frac{1}{x}\)