③ © SAN P LP=90° PR-воссоша Sind - 12252 K M d S=N7 PN-8 MN-2 KN?

Рассмотрим треугольник ΔKNP, в котором ∠P = 90°.

Шаг 1: Найдём KP, используя свойство прямоугольного треугольника:

Так как PR - высота, то треугольник KNP - прямоугольный. Тогда:

\[KP^2 = KN^2 - NP^2\]

\[KP = \sqrt{KN^2 - NP^2}\]

Шаг 2: Найдём KN, используя подобие треугольников:

Треугольники ΔKNP и ΔMNK подобны, так как ∠N - общий, и ∠P = ∠K = 90°.

Из подобия треугольников следует, что:

\[\frac{KN}{MN} = \frac{NP}{KP}\]

\[\frac{KN}{2} = \frac{8}{\sqrt{KN^2 - 8^2}}\]

\[KN \cdot \sqrt{KN^2 - 64} = 16\]

\[KN^2 \cdot (KN^2 - 64) = 256\]

\[KN^4 - 64KN^2 - 256 = 0\]

Пусть \[x = KN^2\], тогда:

\[x^2 - 64x - 256 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-256) = 4096 + 1024 = 5120\]

\[x_1 = \frac{64 + \sqrt{5120}}{2} = \frac{64 + 16\sqrt{20}}{2} = 32 + 8\sqrt{20} = 32 + 16\sqrt{5}\]

\[x_2 = \frac{64 - \sqrt{5120}}{2} = \frac{64 - 16\sqrt{20}}{2} = 32 - 8\sqrt{20} = 32 - 16\sqrt{5}\]

Так как \[x = KN^2\] и \[KN^2 > 0\], то выбираем положительный корень:

\[KN^2 = 32 + 16\sqrt{5}\]

\[KN = \sqrt{32 + 16\sqrt{5}} = 4\sqrt{2 + \sqrt{5}}\]

Шаг 3: Найдём KP:

\[KP = \sqrt{KN^2 - NP^2} = \sqrt{32 + 16\sqrt{5} - 64} = \sqrt{16\sqrt{5} - 32} = 4\sqrt{\sqrt{5} - 2}\]