③ АВСД-квадра PECA, CP=PX; ACNBD=0 X=BA; y=BC Выразить; BO, BP; PA

Рассмотрим задачу по геометрии, где дан квадрат ABCD, точка P лежит на отрезке CA, CP = PX, диагонали пересекаются в точке O, а также X = BA и y = BC. Необходимо выразить векторы BO, BP и PA через известные векторы.

1. Выразим вектор BO через векторы BA и BC:
   1. Так как O - точка пересечения диагоналей квадрата, то BO является половиной вектора BD.
   2. Вектор BD можно выразить как сумму векторов BA и BC: $$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$$.
   3. Тогда вектор BO равен половине вектора BD: $$\overrightarrow{BO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})$$
2. Выразим вектор BP через векторы BA и BC:
   1. Так как точка P лежит на отрезке CA, вектор BP можно выразить через векторы BA и BC.
   2. Используем тот факт, что $$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{PX}$$.
   3. Пусть $$\overrightarrow{AP} = k \cdot \overrightarrow{AC}$$, где k - некоторое число. Тогда $$\overrightarrow{CP} = (1-k) \cdot \overrightarrow{AC}$$.
   4. Вектор AC можно выразить как $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$$.
   5. Тогда $$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{BA} + k \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BA} + k(-\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) = (1-k)\overrightarrow{BA} + k\overrightarrow{BC}$$.
   6. По условию CP = PX, значит, P - середина CX, где X = BA и y = BC. Тогда $$\overrightarrow{BC} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}$$ и k = 3/4.
   7. Подставим k = 3/4 в выражение для вектора BP: $$\overrightarrow{BP} = (1-\frac{3}{4})\overrightarrow{BA} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BA} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$$
3. Выразим вектор PA через векторы BA и BC:
   1. Вектор PA можно выразить как отрицательный вектор AP: $$\overrightarrow{PA} = - \overrightarrow{AP}$$.
   2. Используя выражение для AP из пункта 2: $$\overrightarrow{AP} = k \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{3}{4}(-\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) = -\frac{3}{4}\overrightarrow{BA} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$$.
   3. Тогда $$\overrightarrow{PA} = -(-\frac{3}{4}\overrightarrow{BA} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}) = \frac{3}{4}\overrightarrow{BA} - \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$$.

Ответ:

<h3>Векторы:</h3>
<ul>
  <li>$$\overrightarrow{BO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})$$</li>
  <li>$$\overrightarrow{BP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BA} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$$</li>
  <li>$$\overrightarrow{PA} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BA} - \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$$</li>
</ul>