► Задача. Площади двух подобных треугольников равны 75 м² и 300 м². Одна из сторон первого треугольника равна 9 м. Найдите соответствующую ей сторону второго треугольника. ► Упражнение. У подобных треугольников соответствующие стороны равны 6 см и 42 см. Площадь первого треугольника равна 15 см2. Найдите площадь второго треугольника. Известно, что треугольники подобны, и их площади относятся как \frac{100}{121}. Как относятся их периметры?

Решение задачи:

1. Пусть S1 = 75 м², S2 = 300 м², a1 = 9 м.
2. Найдём коэффициент подобия k как корень из отношения площадей: $$k = \sqrt{\frac{S_2}{S_1}} = \sqrt{\frac{300}{75}} = \sqrt{4} = 2$$
3. Найдём соответствующую сторону второго треугольника: $$a_2 = k \cdot a_1 = 2 \cdot 9 = 18 \text{ м}$$

Ответ: 18 м.

Решение упражнения:

1. Пусть a1 = 6 см, a2 = 42 см, S1 = 15 см².
2. Найдём коэффициент подобия k как отношение соответствующих сторон: $$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{42}{6} = 7$$
3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит, $$\frac{S_2}{S_1} = k^2 = 7^2 = 49$$
4. Найдём площадь второго треугольника: $$S_2 = S_1 \cdot k^2 = 15 \cdot 49 = 735 \text{ см}^2$$

Ответ: 735 см².

Решение задачи про периметры:

1. Известно, что отношение площадей равно \frac{100}{121}.
2. Коэффициент подобия k равен квадратному корню из отношения площадей: $$k = \sqrt{\frac{100}{121}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{121}} = \frac{10}{11}$$
3. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Следовательно, отношение их периметров равно \frac{10}{11}.

Ответ: \frac{10}{11}.