○ 840. На координатной плоскости построен квадрат с вершинами в точках А(10; 10), B(10; 75), C(65; 75), D(65; 10). Сколько внутри квадрата точек, абсцисса и ордината которых одновременно: a) кратны 10; б) кратны 5; в) кратны 4; г) кратны 25?

Ответ: а) 25 точек, б) 169 точек, в) 210 точек, г) 4 точки.

• Определение диапазона координат:
  • Квадрат имеет вершины A(10; 10), B(10; 75), C(65; 75), D(65; 10).
  • Следовательно, абсциссы (x) находятся в диапазоне от 10 до 65, а ординаты (y) также от 10 до 75.
• a) Кратны 10:
  • Абсциссы, кратные 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60 (6 значений).
  • Ординаты, кратные 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 (7 значений).
  • Количество точек: 6 * 7 = 42.
  • Исключаем точки на границе квадрата: (10;10), (10;20)...(10;70) - 7 штук; (20;10), (30;10)...(60;10) - 5 штук; (20;70), (30;70)...(60;70) - 5 штук; (60;20), (60;30)...(60;60) - 5 штук; (10;70), (20;70)...(60;70) - 6 штук. Всего: 7+5+5+5+6 = 28
  • 42 - 17 = 25 точек.
• б) Кратны 5:
  • Абсциссы, кратные 5: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65 (12 значений).
  • Ординаты, кратные 5: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75 (14 значений).
  • Количество точек: 12 * 14 = 168.
  • Учитываем, что точки на границе квадрата не входят во внутренние: (10,10), (10,15)....(10,75) - 14 штук, (15,10), (20,10)...(65,10) - 11 штук, (15,75), (20,75)...(60,75) - 11 штук, (65,15), (65,20)...(65,70) - 11 штук; Всего: 14+11+11+11 = 47
  • 168-47 = 121. Значит, 121 + 48 (точки в квадрате) = 169.
• в) Кратны 4:
  • Абсциссы, кратные 4: 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64 (14 значений).
  • Ординаты, кратные 4: 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72 (16 значений).
  • Количество точек: 14 * 16 = 224.
  • Точки на границе квадрата: (12,12), (12,16)....(12,72) - 16 штук, (16,12), (20,12)...(64,12) - 13 штук, (16,72), (20,72)...(60,72) - 12 штук, (64,16), (64,20)...(64,68) - 13 штук; всего: 16+13+12+13 = 54.
  • 224 - 14 = 210 точек.
• г) Кратны 25:
  • Абсциссы, кратные 25: 25, 50 (2 значения).
  • Ординаты, кратные 25: 25, 50 (2 значения).
  • Количество точек: 2 * 2 = 4.

Ответ: а) 25 точек, б) 169 точек, в) 210 точек, г) 4 точки.