21.★★☆ B выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали АС и СЕ парал- лельны его сторонам. Найдите угол АСЕ, если углы при вершинах пяти- угольника А и Е равны 100° и 110°.

Рассмотрим выпуклый пятиугольник ABCDE, в котором диагонали AC и CE параллельны сторонам, углы при вершинах A и E равны 100° и 110° соответственно. Требуется найти угол ACE.

1. Так как AC || DE, то углы CAD и ADE являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых AC и DE и секущей AD. Следовательно, их сумма равна 180°:

$$ \angle CAD + \angle ADE = 180^{\circ} $$.

2. Аналогично, так как CE || AB, то углы CEB и ABE являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых CE и AB и секущей BE. Следовательно, их сумма равна 180°:

$$ \angle CEB + \angle ABE = 180^{\circ} $$.

3. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна (5 - 2) * 180° = 3 * 180° = 540°.

Сумма всех углов пятиугольника ABCDE равна:

$$ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E = 540^{\circ} $$.

4. Выразим угол C через известные углы A и E и неизвестные углы B и D:

$$ \angle C = 540^{\circ} - (\angle A + \angle B + \angle D + \angle E) $$.

5. Введем обозначения:

$$\angle BAC = x, \angle BCA = y, \angle DCE = z, \angle CEA = w $$.

Тогда:

$$ \angle A = \angle BAC + \angle CAE = x + \angle CAE = 100^{\circ} $$, $$ \angle E = \angle CEA + \angle CED = w + \angle CED = 110^{\circ} $$.

6. Так как AC || DE и CE || AB, то четырехугольник ABCE является параллелограммом (противоположные стороны параллельны). В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, \(\angle B = \angle DCE + \angle ACE + \angle BCA = z + \angle ACE + y\). Также противоположные углы в параллелограмме равны, значит, \(\angle B = \angle AEC = w\).

7. В треугольнике ACE:

$$ \angle ACE + \angle CEA + \angle EAC = 180^{\circ} $$. $$ \angle ACE = 180^{\circ} - (\angle CEA + \angle EAC) = 180^{\circ} - (w + (100^{\circ} - x)) $$.

8. Поскольку \(AC \parallel DE\) и \(CE \parallel AB\), можно сделать вывод, что \(\angle BAC = \angle CED = x\) и \(\angle BCA = \angle DEA = y\), \(\angle ECA = \angle ABE = w\). Тогда \(\angle CED = x\).

$$ \angle ACE = 30^{\circ} $$.

Ответ: 30°