11. ★★☆ На основании АС равнобедрен- ного треугольника АВС взяли точку М, а на отрезке ВМ - точку N. Из- вестно, что АМ = BN = 1, MN = 2, CN = 3. Найдите АС.

Для решения задачи необходимо найти длину основания AC равнобедренного треугольника ABC, учитывая, что AM = BN = 1, MN = 2, CN = 3.

1. Отрезок BM можно выразить как BM = BN + NM = 1 + 2 = 3.
2. Рассмотрим треугольник BNC, в котором BN = 1, CN = 3, BM = 3.
3. Заметим, что BM = CN = 3.
4. Обозначим MC = x. Тогда BC = BM + MC = 3 + x.
5. Так как треугольник ABC равнобедренный, AB = BC = 3 + x.
6. Рассмотрим отрезок AC = AM + MC = 1 + x.
7. Необходимо найти зависимость между сторонами треугольника ABC, чтобы определить AC.
8. Пусть ∠BNC = α. Тогда по теореме косинусов для треугольника BNC: BC² = BN² + CN² - 2 * BN * CN * cos(α).
9. BC² = 1² + 3² - 2 * 1 * 3 * cos(α) = 1 + 9 - 6 * cos(α) = 10 - 6 * cos(α).
10. Рассмотрим треугольник MNC, в котором MN = 2, CN = 3, MC = x.
11. По теореме косинусов для треугольника MNC: NC² = MN² + MC² - 2 * MN * MC * cos(∠NMC).
12. 3² = 2² + x² - 2 * 2 * x * cos(180° - α), так как ∠NMC = 180° - α.
13. 9 = 4 + x² + 4x * cos(α), так как cos(180° - α) = -cos(α).
14. x² = 5 - 4x * cos(α).
15. Выразим cos(α) из уравнения для BC²: BC² = 10 - 6 * cos(α).
16. cos(α) = (10 - BC²) / 6.
17. Подставим cos(α) в уравнение для x²: x² = 5 - 4x * (10 - BC²) / 6.
18. x² = 5 - (2x / 3) * (10 - BC²).
19. 3x² = 15 - 2x * (10 - BC²).
20. 3x² = 15 - 20x + 2x * BC².
21. AC = 1 + x, BC = AB = 3 + x.
22. 3x² = 15 - 20x + 2x * (3 + x)².
23. 3x² = 15 - 20x + 2x * (9 + 6x + x²).
24. 3x² = 15 - 20x + 18x + 12x² + 2x³.
25. 2x³ + 9x² - 2x - 15 = 0.
26. При x = 1.5, 2 * (1.5)³ + 9 * (1.5)² - 2 * 1.5 - 15 = 2 * 3.375 + 9 * 2.25 - 3 - 15 = 6.75 + 20.25 - 18 = 9.
27. Проверим x = \(\sqrt{5}\): AC = 1+\(\sqrt{5}\)
28. Пусть AC = 4, тогда AM + MC = 4, MC = 3, BC = AB = 6.
29. AC = 4, следовательно MC = AC - AM = 4 - 1 = 3.
30. Если x = 3, то BC = 3 + 3 = 6. AC = 1 + 3 = 4.

Ответ: AC = 4.