18.9 ★★☆ Одна сторона треугольника равна 4, а длины двух других относятся как 5 : 7. Докажите, что все стороны этого треугольника меньше 14 (рис. 18.35).

Пусть длины двух других сторон равны 5x и 7x.

По неравенству треугольника, сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.

• 4 + 5x > 7x
• 4 + 7x > 5x
• 5x + 7x > 4

Решим первое неравенство:

4 > 2x

x < 2

Решим второе неравенство:

2x > -4

x > -2 (это всегда выполняется, так как x положительное число)

Решим третье неравенство:

12x > 4

x > 1/3

Таким образом, 1/3 < x < 2.

Найдем максимальные значения для сторон 5x и 7x:

• 5x < 5 * 2 = 10
• 7x < 7 * 2 = 14

Итак, стороны треугольника: 4, 5x < 10, 7x < 14.

Все стороны треугольника меньше 14.