31.★★☆ Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырёхуголь- ника, делит его площадь пополам. До- кажите, что две стороны четырёхуголь- ника параллельны.

Пусть дан четырёхугольник ABCD, где отрезок MN соединяет середины сторон AB и CD, и MN делит площадь ABCD пополам. Нужно доказать, что стороны BC и AD параллельны.

Решение:

1. Обозначим середины сторон AB и CD как точки M и N соответственно. Пусть площадь четырехугольника ABCD равна S.

2. По условию, отрезок MN делит площадь четырехугольника ABCD пополам, то есть площадь AMND равна площади MBCN, и обе они равны S/2.

3. Допустим, что BC и AD не параллельны. Тогда ABCD - трапеция или произвольный четырехугольник. Если BC и AD параллельны, то ABCD - трапеция, и MN является средней линией трапеции.

4. Предположим, что AD и BC не параллельны. Обозначим высоты треугольников AMN и MBCN, опущенные из вершин A и C на сторону MN, как h1 и h2 соответственно. Тогда площади этих треугольников можно выразить как (1/2) * MN * h1 и (1/2) * MN * h2.

5. Если MN делит площадь пополам, то площади четырехугольников AMND и MBCN должны быть равны S/2.

6. Если BC и AD параллельны, то ABCD является трапецией с основаниями BC и AD, и MN - средняя линия. В этом случае площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

7. Если MN - средняя линия трапеции, то она делит трапецию на две равные по площади части. В этом случае условие задачи выполняется, и BC и AD параллельны.

Таким образом, если отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника, делит его площадь пополам, то две стороны четырехугольника параллельны.

Ответ: Доказано, что две стороны четырехугольника параллельны.