19.★★☆ Противоположные стороны четырёхугольника попарно равны. Докажите, что эти стороны также параллельны.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться знаниями геометрии, в частности, свойствами параллелограмма.

Доказательство:

1. Пусть дан четырёхугольник ABCD, в котором AB = CD и BC = AD.
2. Проведём диагональ AC.
3. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них:
• AB = CD (по условию)
• BC = AD (по условию)
• AC - общая сторона
4. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по трём сторонам (III признак равенства треугольников).
5. Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠BAC = ∠DCA и ∠BCA = ∠DAC.
6. Углы ∠BAC и ∠DCA являются внутренними накрест лежащими углами при прямых AB и CD и секущей AC. Так как эти углы равны, то прямые AB и CD параллельны (по признаку параллельности прямых).
7. Аналогично, углы ∠BCA и ∠DAC являются внутренними накрест лежащими углами при прямых BC и AD и секущей AC. Так как эти углы равны, то прямые BC и AD параллельны (по признаку параллельности прямых).
8. Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны AB и CD параллельны, а также противоположные стороны BC и AD параллельны.
9. Следовательно, по определению, четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: Доказано, что если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то эти стороны также параллельны.