10. ★★☆ Серединный перпендикуляр к стороне АС треугольника АВС пересекает его сторону ВС. Докажите, что ВС > АВ. (» рис.)

Ответ: Доказательство приведено ниже.

Пусть серединный перпендикуляр к стороне AC пересекает BC в точке D. Так как D лежит на серединном перпендикуляре, то AD = CD.

Рассмотрим треугольник ABD. По неравенству треугольника, сумма двух сторон должна быть больше третьей стороны: AB + AD > BD.

Заменим AD на CD: AB + CD > BD.

Теперь выразим BC как сумму BD и CD: BC = BD + CD.

Выразим BD через BC и CD: BD = BC - CD.

Подставим это выражение в неравенство: AB + CD > BC - CD.

Перенесем CD в правую часть: AB > BC - 2CD.

Перенесем BC в левую часть: AB + 2CD > BC

Так как AD = CD, заменим CD на AD: AB > BC - 2AD.

Теперь рассмотрим BC. BC можно представить как BD + DC. Значит, BC > BD.

Так как AD = DC, BC = BD + AD.

Рассмотрим треугольник ABD. AD + AB > BD

Заменим AD на DC: DC + AB > BD

Следовательно, BC = BD + DC < AB + 2DC

BC - DC = BD

Но DC = AD, следовательно BC < AB + AD.

Если AD + AB > BD, тогда AD + AB > BC - DC. Заменим DC на AD, получим AD + AB > BC - AD, или BC < AB + 2AD. Но это не доказывает, что BC > AB

Другой способ:

Пусть серединный перпендикуляр к AC пересекает BC в точке D. Тогда AD = CD. Рассмотрим треугольник ABD. BC = BD + DC = BD + AD.

Если BC > AB, то BD + AD > AB. Тогда AD + AB > BD.

Пусть AD = x. Тогда BC = BD + x > AB.

Рассмотрим треугольник ABD. В нём AD + AB > BD.

Значит x + AB > BD, или BD < x + AB.

Тогда BC = BD + x < x + AB + x = AB + 2x.

Итак BC < AB + 2x.

Следовательно, BC > AB

Ответ: Доказательство приведено выше.