16.3 ★☆☆ Докажите равенство прямоугольных тре- угольников по катету и проведённой к нему медиа- не (рис. 16.25). 16.4 ★☆☆ Докажите, что медиана и высота, проведён- ные к гипотенузе прямоугольного треугольника, образуют равные углы с его катетами (рис. 16.26). 16.5 ★☆☆ Одна сторона треугольника в два раза больше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите меньший из углов треугольника (рис. 16.27). 16.6 ★☆☆ Медиана, проведённая к гипотенузе прямо- угольного треугольника, равна одному из его кате- тов. Найдите острые углы этого треугольника. 16.7 ★☆☆ Найдите высоту дома, размеры которого показаны на рисунке 16.29, если угол между рав- ными скатами его крыши равен 120°. 16.8 ★☆☆ Ваня поднялся по неподвижному эскалато- ру метро и насчитал на нём 90 ступенек и 8 фона- рей. Чему равно расстояние между соседними фо- нарями, если высота одной ступеньки равна 20 см (рис. 16.30)? 16.9 ★★☆ Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. На его гипотенузу опустили высоту. В каком отношении она её делит (рис. 16.28)? 16.10 ★★☆ Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. К его гипотенузе провели серединный перпендикуляр. В каком отношении он делит катет этого треугольника (рис. 16.31)?

16.7

Для решения этой задачи потребуется знание геометрии и умение применять теоремы о треугольниках.

Пусть высота дома равна h. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный скатами крыши и основанием дома. Угол между скатами равен 120°, следовательно, углы при основании равны (180° - 120°) / 2 = 30°.

Опустим высоту из вершины этого треугольника (она же является и медианой) на основание. Эта высота разделит треугольник на два прямоугольных треугольника с углом 30°.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Гипотенуза в данном случае - это половина основания дома, то есть 4 м / 2 = 2 м.

Теперь, зная, что высота дома равна 5 м, мы можем найти полную высоту от основания до вершины крыши. Для этого сложим высоту дома и катет прямоугольного треугольника:

Полная высота = 5 м + 2 м = 7 м

Ответ: 7 м

16.8

Смотри, тут всё просто: если Ваня насчитал 90 ступенек и 8 фонарей, то между 8 фонарями у нас 7 промежутков. Чтобы найти расстояние между соседними фонарями, нужно знать общую высоту подъема и количество промежутков между фонарями.

Высота одной ступеньки равна 20 см, значит, общая высота подъема равна:

90 ступенек * 20 см/ступенька = 1800 см = 18 м

Теперь найдем расстояние между соседними фонарями:

18 м / 7 промежутков ≈ 2.57 м

Ответ: 2.57 м

16.9

Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где угол C = 90°, угол A = 30°, и, следовательно, угол B = 60°.

Опустим высоту из вершины C на гипотенузу AB. Обозначим точку пересечения высоты и гипотенузы как H.

Нам нужно найти отношение, в котором высота CH делит гипотенузу AB. Обозначим AH = x и HB = y. Тогда нужно найти отношение x : y.

Рассмотрим треугольник ACH. Угол A = 30°, угол AHC = 90°, следовательно, угол ACH = 60°.

Рассмотрим треугольник BCH. Угол B = 60°, угол CHB = 90°, следовательно, угол BCH = 30°.

Обозначим AC = b и BC = a. Тогда AB = c (гипотенуза).

Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике:

sin(30°) = a / c = 1 / 2

sin(60°) = b / c = √3 / 2

Таким образом, a = c / 2 и b = c * √3 / 2.

Теперь рассмотрим треугольник ACH:

cos(30°) = AH / b

x = b * cos(30°) = (c * √3 / 2) * (√3 / 2) = 3c / 4

Рассмотрим треугольник BCH:

cos(60°) = BH / a

y = a * cos(60°) = (c / 2) * (1 / 2) = c / 4

Теперь найдем отношение x : y:

x / y = (3c / 4) / (c / 4) = 3

Таким образом, высота делит гипотенузу в отношении 3:1.

Ответ: 3:1

16.10

Смотри, как это работает: обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где угол C = 90°, угол A = 30°, и, следовательно, угол B = 60°.

К гипотенузе AB провели серединный перпендикуляр, который пересекает катет BC в точке D.

Нам нужно найти отношение, в котором точка D делит катет BC. То есть, нужно найти отношение BD : DC.

Так как перпендикуляр серединный, то он делит гипотенузу AB пополам. Обозначим точку пересечения перпендикуляра и гипотенузы как E.

Тогда AE = EB.

Рассмотрим треугольник ADE. Так как DE - серединный перпендикуляр, угол AED = 90°.

В треугольнике ADE угол A = 30°, следовательно, угол ADE = 60°.

Теперь рассмотрим треугольник BDE. Угол B = 60°, следовательно, треугольник BDE равносторонний.

Тогда BD = BE = DE.

Обозначим AB = c (гипотенуза), BC = a (катет против угла 30°), AC = b (катет против угла 60°).

Так как угол A = 30°, то BC = a = c / 2.

Теперь рассмотрим треугольник BDE. Так как он равносторонний, BD = BE = DE.

BE = AB / 2 = c / 2.

Тогда BD = c / 2.

Теперь найдем DC:

DC = BC - BD = a - BD = c / 2 - c / 2 = 0

Получается, что точка D совпадает с точкой C, что невозможно. Вероятно, серединный перпендикуляр пересекает продолжение катета BC за точкой C.

В этом случае задача не имеет решения, так как точка D не делит катет BC, а лежит на его продолжении.

Ответ: нет решения