7. ★☆☆ Окружности, радиусы которых равны 3 и 8, вписаны в угол с вели- чиной 60°. Найдите расстояние между их центрами. (» рис.)

Шаг 1: Представим, что у нас есть угол в 60 градусов, и в него вписаны две окружности с радиусами 3 и 8. Шаг 2: Проведем линии из вершины угла к центрам обеих окружностей. Эти линии будут лежать на биссектрисе угла, то есть делить угол пополам (30 градусов). Шаг 3: Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных радиусами, проведенными в точки касания, и отрезками биссектрисы от вершины угла до центров окружностей. Шаг 4: Введем обозначения:

• \( r_1 = 3 \) – радиус первой окружности
• \( r_2 = 8 \) – радиус второй окружности
• \( d \) – расстояние между центрами окружностей (то, что нам нужно найти)

Шаг 5: Пусть \( x \) – расстояние от вершины угла до центра меньшей окружности. Тогда расстояние от вершины угла до центра большей окружности будет \( x + d \). Шаг 6: Запишем соотношения для тангенса угла 30 градусов в обоих прямоугольных треугольниках: \[ \tan(30^\circ) = \frac{r_1}{x} = \frac{r_2}{x+d} \] Шаг 7: Мы знаем, что \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Подставим это значение и радиусы в соотношение: \[ \frac{3}{x} = \frac{8}{x+d} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Шаг 8: Из первого равенства выразим \( x \): \[ x = 3\sqrt{3} \] Шаг 9: Подставим это значение во второе равенство: \[ \frac{8}{3\sqrt{3} + d} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Шаг 10: Решим уравнение относительно \( d \): \[ 8\sqrt{3} = 3\sqrt{3} + d \] \[ d = 8\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \] \[ d = 5\sqrt{3} \]