16.★☆☆ Вне равностороннего треуголь- ника АВС взяли точку М так, что длина отрезка АМ равна стороне это- го треугольника, а угол МАС равен 20°. Найдите угол СВМ.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС и точку М вне его, такую что АМ = АВ = ВС = СА и ∠MAC = 20°.

Пусть ∠СВМ = х.

Так как треугольник АВС равносторонний, то все его углы равны 60°.

Тогда ∠ВАМ = ∠ВАС - ∠МАС = 60° - 20° = 40°.

Рассмотрим треугольник АВМ. В нём АВ = АМ, следовательно, треугольник АВМ равнобедренный с основанием ВМ.

Тогда углы при основании ВМ равны: ∠АВМ = ∠АМВ = (180° - ∠ВАМ) / 2 = (180° - 40°) / 2 = 140° / 2 = 70°.

Угол АВС равен 60°, значит ∠АВМ + ∠СВМ = 60°.

Отсюда x = ∠СВМ = ∠АВС - ∠АВМ = 60° - 70° = -10°.

Поскольку угол не может быть отрицательным, необходимо рассмотреть другую конфигурацию точки М.

Предположим, точка М расположена так, что отрезок АМ пересекает сторону ВС треугольника АВС.

В этом случае ∠АВМ = ∠АВС + ∠СВМ, то есть ∠АВМ = 60° + х

Аналогично предыдущему случаю, треугольник АВМ равнобедренный, значит ∠АВМ = ∠АМВ = (180° - ∠ВАМ) / 2 = (180° - 40°) / 2 = 70°

Тогда ∠АВМ = 70° = 60° + х

Следовательно, x = 70° - 60° = 10°

Ответ: 10°