10. ☆ Окружность радиуса 1 касается двух катетов прямоугольного треуголь- ника и делит его гипотенузу на три равные части. Найдите площадь тре- угольника.

Решение:

1. Обозначим прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°. Окружность радиуса r = 1 касается катетов AC и BC. Центр окружности O находится на одинаковом расстоянии r = 1 от обоих катетов.
2. Пусть гипотенуза AB делится на три равные части точками D и E, так что AD = DE = EB. Окружность касается катетов AC и BC. Обозначим стороны прямоугольного треугольника AC = b и BC = a, а гипотенузу AB = c.
3. По условию, AD = DE = EB = c/3. Тогда AE = AD + DE = 2c/3, BD = DE + EB = 2c/3.
4. По свойству касательной к окружности, центр окружности O находится на расстоянии r от обоих катетов, поэтому координаты центра O будут (1, 1) в системе координат, где C - начало координат, AC - ось y, BC - ось x.
5. Гипотенуза AB проходит через точки (a, 0) и (0, b), поэтому ее уравнение можно записать как x/a + y/b = 1.
6. Из условия, что окружность касается гипотенузы, можно получить соотношение между a, b и r. Но условие, что гипотенуза делится на три равные части, более важно.
7. Длина гипотенузы c = √(a² + b²). Точки D и E делят гипотенузу на три равные части. Это означает, что задача имеет сложную геометрическую конфигурацию, которую трудно решить напрямую.
8. Чтобы гипотенуза делилась на три равные части, нужно рассмотреть подобные треугольники. Если AD = DE = EB, то площадь треугольника можно найти, зная длины катетов.

Это сложная геометрическая задача, требующая продвинутых методов решения. К сожалению, я не могу предоставить точное решение этой задачи с помощью школьных знаний.

Предположим, что гипотенуза разделена на три равные части точками касания окружности. Центр окружности О (1,1). Тогда a = b, то есть треугольник равнобедренный. Гипотенуза равна $$ a \sqrt{2} $$. Тогда каждая часть гипотенузы равна $$ \frac{a \sqrt{2}}{3} $$. Тогда площадь треугольника равна $$ S = \frac{1}{2} a^2 $$.

Точное решение данной задачи я не могу предоставить, извините.

Ответ: Нет решения