9. ☆ Точка Р удалена на расстояние, равное 7, от центра окружности радиуса 11. Через точку Р проведена хорда, равная 18. Найдите отрезки, на которые делится хорда точкой Р.

Решение:

1. Обозначим центр окружности точкой О. Расстояние от точки Р до центра окружности ОР = 7. Радиус окружности R = 11. Хорда, проходящая через точку Р, равна 18.
2. Пусть хорда пересекает окружность в точках А и В, так что АВ = 18. Пусть точка Р делит хорду АВ на отрезки АР = x и РВ = y. Тогда x + y = 18.
3. Проведем диаметр CD через точку Р. Тогда CP = R - OP = 11 - 7 = 4, PD = R + OP = 11 + 7 = 18.
4. По свойству пересекающихся хорд: AP * PB = CP * PD, то есть x * y = 4 * 18 = 72.
5. Мы имеем систему уравнений: x + y = 18 и x * y = 72. Выразим y через x: y = 18 - x.
6. Подставим y в уравнение x * y = 72: x * (18 - x) = 72, что дает 18x - x² = 72, или x² - 18x + 72 = 0.
7. Решим квадратное уравнение x² - 18x + 72 = 0. Дискриминант D = (-18)² - 4 * 1 * 72 = 324 - 288 = 36.
8. Корни уравнения: x₁ = (18 + √36) / 2 = (18 + 6) / 2 = 24 / 2 = 12, x₂ = (18 - √36) / 2 = (18 - 6) / 2 = 12 / 2 = 6.
9. Если x = 12, то y = 18 - 12 = 6. Если x = 6, то y = 18 - 6 = 12. Таким образом, отрезки равны 6 и 12.

Ответ: 6 и 12