✓ 32. Две проволоки — медная и алюминиевая имеют одинаковую массу. Длина медной проволоки в 10 раз больше длины алюминиевой. Во сколько раз сопротивление медной проволоки больше сопротивления алюминиевой? Плотность меди в 3,3 раза больше плотности алюминия, а удельное сопротивление в 1,65 раз меньше.

Ответ: Сопротивление медной проволоки больше сопротивления алюминиевой в 5 раз.

Разбираемся:

Пусть \( m \) – масса обеих проволок, \( \rho_{Cu} \) и \( \rho_{Al} \) – плотности меди и алюминия соответственно, \( L_{Cu} \) и \( L_{Al} \) – длины медной и алюминиевой проволок, \( S_{Cu} \) и \( S_{Al} \) – площади поперечного сечения медной и алюминиевой проволок, \( \sigma_{Cu} \) и \( \sigma_{Al} \) – удельное сопротивление меди и алюминия, соответственно. Также, \( R_{Cu} \) и \( R_{Al} \) – сопротивления медной и алюминиевой проволок.

Из условия задачи:

• \( L_{Cu} = 10L_{Al} \)
• \( \rho_{Cu} = 3.3\rho_{Al} \)
• \( \sigma_{Cu} = \frac{\sigma_{Al}}{1.65} \)

Шаг 1: Выразим площади поперечного сечения через массу и плотность:

• \( V_{Cu} = \frac{m}{\rho_{Cu}} = L_{Cu}S_{Cu} \Rightarrow S_{Cu} = \frac{m}{L_{Cu}\rho_{Cu}} \)
• \( V_{Al} = \frac{m}{\rho_{Al}} = L_{Al}S_{Al} \Rightarrow S_{Al} = \frac{m}{L_{Al}\rho_{Al}} \)

Шаг 2: Запишем формулы для сопротивлений проволок:

• \( R_{Cu} = \sigma_{Cu}\frac{L_{Cu}}{S_{Cu}} = \sigma_{Cu}\frac{L_{Cu}}{\frac{m}{L_{Cu}\rho_{Cu}}} = \sigma_{Cu}\frac{L_{Cu}^2 \rho_{Cu}}{m} \)
• \( R_{Al} = \sigma_{Al}\frac{L_{Al}}{S_{Al}} = \sigma_{Al}\frac{L_{Al}}{\frac{m}{L_{Al}\rho_{Al}}} = \sigma_{Al}\frac{L_{Al}^2 \rho_{Al}}{m} \)

Шаг 3: Найдем отношение сопротивлений:

\[ \frac{R_{Cu}}{R_{Al}} = \frac{\sigma_{Cu}}{\sigma_{Al}} \cdot \frac{L_{Cu}^2}{L_{Al}^2} \cdot \frac{\rho_{Cu}}{\rho_{Al}} = \frac{\frac{\sigma_{Al}}{1.65}}{\sigma_{Al}} \cdot \frac{(10L_{Al})^2}{L_{Al}^2} \cdot \frac{3.3\rho_{Al}}{\rho_{Al}} = \frac{1}{1.65} \cdot 100 \cdot 3.3 = \frac{330}{1.65} = 200 \cdot \frac{1}{1.65} = 200 \cdot \frac{100}{165} = 200 \cdot \frac{20}{33} = \frac{4000}{33} \approx 121.21\]

Здесь есть ошибка в вычислениях. Давайте пересчитаем:

\[\frac{R_{Cu}}{R_{Al}} = \frac{\sigma_{Cu}}{\sigma_{Al}} \cdot \frac{L_{Cu}^2}{L_{Al}^2} \cdot \frac{\rho_{Cu}}{\rho_{Al}} = \frac{\frac{\sigma_{Al}}{1.65}}{\sigma_{Al}} \cdot \frac{(10L_{Al})^2}{L_{Al}^2} \cdot \frac{3.3\rho_{Al}}{\rho_{Al}} = \frac{1}{1.65} \cdot 100 \cdot 3.3 = \frac{100 \cdot 3.3}{1.65} = 100 \cdot 2 = 200\]

Шаг 4: Сделаем выводы:

Сопротивление медной проволоки в 200 раз больше сопротивления алюминиевой проволоки.

Проверим еще раз:

• \(L_{Cu} = 10 L_{Al}\)
• \(\rho_{Cu} = 3.3 \rho_{Al}\)
• \(\sigma_{Cu} = \frac{\sigma_{Al}}{1.65}\)

Тогда:

\[\frac{R_{Cu}}{R_{Al}} = \frac{\sigma_{Cu} L_{Cu}^2 \rho_{Cu}}{\sigma_{Al} L_{Al}^2 \rho_{Al}} = \frac{\sigma_{Al} \cdot 100 L_{Al}^2 \cdot 3.3 \rho_{Al}}{1.65 \sigma_{Al} L_{Al}^2 \rho_{Al}} = \frac{100 \cdot 3.3}{1.65} = 200\]

Ответ: Сопротивление медной проволоки больше сопротивления алюминиевой в 200 раз.

Смотри, как это работает:

Обозначения:

• \( m \) – масса проволок (одинаковая)
• \( \rho_{Cu} \), \( \rho_{Al} \) – плотности меди и алюминия
• \( L_{Cu} \), \( L_{Al} \) – длины медной и алюминиевой проволок
• \( S_{Cu} \), \( S_{Al} \) – площади сечения
• \( \sigma_{Cu} \), \( \sigma_{Al} \) – удельные сопротивления
• \( R_{Cu} \), \( R_{Al} \) – сопротивления проволок

Из условия:

• \( L_{Cu} = 10L_{Al} \)
• \( \rho_{Cu} = 3.3\rho_{Al} \)
• \( \sigma_{Cu} = \frac{\sigma_{Al}}{1.65} \)

Действия:

1. Выражаем площади через массу и плотность:

   • \( S_{Cu} = \frac{m}{L_{Cu}\rho_{Cu}} \)
   • \( S_{Al} = \frac{m}{L_{Al}\rho_{Al}} \)

2. Записываем сопротивления:

   • \( R_{Cu} = \sigma_{Cu}\frac{L_{Cu}^2 \rho_{Cu}}{m} \)
   • \( R_{Al} = \sigma_{Al}\frac{L_{Al}^2 \rho_{Al}}{m} \)

3. Находим отношение сопротивлений:

   \[ \frac{R_{Cu}}{R_{Al}} = \frac{\sigma_{Cu}}{\sigma_{Al}} \cdot \frac{L_{Cu}^2}{L_{Al}^2} \cdot \frac{\rho_{Cu}}{\rho_{Al}} = \frac{1}{1.65} \cdot 100 \cdot 3.3 = 200 \]

Ответ: 200

Ответ: Сопротивление медной проволоки больше сопротивления алюминиевой в 200 раз.