✓3. Найдите косинус угла А треугольника АВС, если А (3; 9), В (0; 6), C (4; 2).

Решение:

Давай решим эту задачу по геометрии вместе! Нам нужно найти косинус угла A в треугольнике ABC, зная координаты точек A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2). Сначала найдем векторы AB и AC.

1. Найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\):

• \(\vec{AB} = B - A = (0 - 3; 6 - 9) = (-3; -3)\)
• \(\vec{AC} = C - A = (4 - 3; 2 - 9) = (1; -7)\)

2. Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\):

Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a}(x_1; y_1)\) и \(\vec{b}(x_2; y_2)\) равно \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\).

• \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3) \cdot 1 + (-3) \cdot (-7) = -3 + 21 = 18\)

3. Найдем длины векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\):

Длина вектора \(\vec{a}(x; y)\) равна \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\).

• \(|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
• \(|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)

4. Найдем косинус угла A:

Косинус угла между двумя векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\).

• \(\cos(A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{18}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18}{3 \cdot 5 \cdot 2} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}\)

Ответ: \(\cos(A) = \frac{3}{5}\)

Отлично! Теперь ты умеешь находить косинус угла в треугольнике, используя координаты вершин. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!