08:36 기 Математика 10 класс 02:31 6 участников 9.79 K/S 4G 97 Ирина показывает экран : Romas Лавьссі AaBb AuBbCc Аавь ласер Лавьсс. ЛовьСс. Лаlbce Mal Др. по поеме «Расстояние ow wowaи до плоскостин. ВАРИАНТ I 1. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 9 см и наклонная длиной 11 см. Найти длину проскии этой наклонной на плоскость. 2. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр наклонная. Длина наклонной равна 8 см, а угол между сю и перпендикуляром равен 60°. Найти длины перпендикуляра и проекции наклонцой. 3. Из точки А к плоскости и проведены наклонные АВ и АД, длины которых равша 17 см и 10 см соответственно. Найти длицу проекции второй наклонной, если длина проекции первой наклонной равна 15 см. 4. Из точки А к плоскости ос проведены две клонные АС и AD и перпендикуляр АВ. Найти длины проскций этих наклонных на плоскость, если АС-8 см. 2 CAB-60", DAB-45". Ср. по земе «Рас ВАРИАНТ 2 1. Из точки к плоскости проведены перпендикуляри паклонная длиной 12 см. Найти длину перпендикуляра, если длина проскции наклонной равна 7 см. 2. Из точки к плоскости проведены перпендику зер и наклонная. Данна проекции наклонной равна 6 см. Найти длины перпендикуляра и наклонной, осли угол между перпендикуляром и оппой равец 30° 3. Из точки № к плоскости проведены наклонные МУ и МК, а также перпендикуляр МГ. Найти МГ и МК, если MN-20 см, NF-16 см, КР-5 см 4. Из точки М к плоскости и проведены наклонные МК и МС и перпендикуляр зация

Сейчас я помогу Вам решить задачи по геометрии.

ВАРИАНТ 1

Задача 1.

Пусть дана точка вне плоскости. Из данной точки проведены перпендикуляр к плоскости, длиной 9 см, и наклонная к плоскости, длиной 11 см. Необходимо найти длину проекции этой наклонной на плоскость.

Решение:

Пусть длина перпендикуляра равна $$a$$, длина наклонной равна $$c$$, а длина проекции равна $$b$$. Тогда, по теореме Пифагора, имеем:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

$$b^2 = c^2 - a^2$$

$$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$

Подставляем значения:

$$b = \sqrt{11^2 - 9^2} = \sqrt{121 - 81} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6.32 \text{ см}$$

Ответ: $$2\sqrt{10} \approx 6.32 \text{ см}$$.

Задача 2.

Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Длина наклонной равна 8 см, а угол между ней и перпендикуляром равен 60°. Необходимо найти длины перпендикуляра и проекции наклонной.

Решение:

Пусть длина перпендикуляра равна $$a$$, длина наклонной равна $$c$$, а угол между ними равен $$\alpha$$. Тогда:

$$\cos(\alpha) = \frac{a}{c}$$

$$a = c \cdot \cos(\alpha)$$

$$\sin(\alpha) = \frac{b}{c}$$

$$b = c \cdot \sin(\alpha)$$

Подставляем значения:

$$a = 8 \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см}$$

$$b = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \text{ см}$$

Ответ: Длина перпендикуляра 4 см, длина проекции $$4\sqrt{3} \approx 6.93 \text{ см}$$.

Задача 3.

Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AD, длины которых равны 17 см и 10 см соответственно. Найти длину проекции второй наклонной, если длина проекции первой наклонной равна 15 см.

Решение:

Пусть проекция AB равна $$b_1$$, проекция AD равна $$b_2$$, длина AB равна $$c_1$$, длина AD равна $$c_2$$, а длина перпендикуляра от A к плоскости равна $$a$$. Тогда имеем:

$$a^2 + b_1^2 = c_1^2$$

$$a^2 = c_1^2 - b_1^2$$

$$a = \sqrt{c_1^2 - b_1^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$$

Теперь найдём $$b_2$$:

$$b_2 = \sqrt{c_2^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$$

Ответ: Длина проекции второй наклонной равна 6 см.

Задача 4.

Из точки A к плоскости α проведены две наклонные AC и AD и перпендикуляр AB. Найти длины проекций этих наклонных на плоскость, если AC = 8 см, ∠CAB = 60°, ∠DAB = 45°.

Решение:

Пусть проекция AC равна $$b_1$$, проекция AD равна $$b_2$$, угол между AC и AB равен $$\alpha$$, угол между AD и AB равен $$\beta$$, длина AC равна $$c_1$$, длина AD равна $$c_2$$, а длина перпендикуляра AB равна $$a$$. Тогда имеем:

$$a = c_1 \cdot \cos(\alpha) = 8 \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см}$$

$$b_1 = c_1 \cdot \sin(\alpha) = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \text{ см}$$

$$b_2 = \sqrt{c_2^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 4^2} = \sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \approx 9.17 \text{ см}$$

ВАРИАНТ 2

Задача 1.

Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная длиной 12 см. Найти длину перпендикуляра, если длина проекции наклонной равна 7 см.

Решение:

Пусть длина перпендикуляра равна $$a$$, длина наклонной равна $$c$$, а длина проекции равна $$b$$. Тогда, по теореме Пифагора, имеем:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

$$a^2 = c^2 - b^2$$

$$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$

Подставляем значения:

$$a = \sqrt{12^2 - 7^2} = \sqrt{144 - 49} = \sqrt{95} \approx 9.75 \text{ см}$$

Ответ: $$\sqrt{95} \approx 9.75 \text{ см}$$.

Задача 2.

Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Длина проекции наклонной равна 6 см. Найти длины перпендикуляра и наклонной, если угол между перпендикуляром и наклонной равен 30°.

Решение:

Пусть длина перпендикуляра равна $$a$$, длина наклонной равна $$c$$, длина проекции равна $$b$$, а угол между перпендикуляром и наклонной равен $$\alpha$$. Тогда:

$$\tan(\alpha) = \frac{b}{a}$$

$$a = \frac{b}{\tan(\alpha)}$$

$$\sin(\alpha) = \frac{b}{c}$$

$$c = \frac{b}{\sin(\alpha)}$$

Подставляем значения:

$$a = \frac{6}{\tan(30^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \approx 10.39 \text{ см}$$

$$c = \frac{6}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12 \text{ см}$$

Ответ: Длина перпендикуляра $$6\sqrt{3} \approx 10.39 \text{ см}$$, длина наклонной 12 см.

Задача 3.

Из точки M к плоскости α проведены наклонные MN и MK, а также перпендикуляр MF. Найти MF и MK, если MN = 20 см, NF = 16 см, KF = 5 см.

Решение:

Пусть длина перпендикуляра MF равна $$a$$, длина MN равна $$c_1$$, длина MK равна $$c_2$$, проекция MN равна $$b_1$$, проекция MK равна $$b_2$$. Тогда имеем:

$$b_1 = NF = 16 \text{ см}$$

$$b_2 = KF = 5 \text{ см}$$

$$a = MF = \sqrt{c_1^2 - b_1^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

$$c_2 = MK = \sqrt{a^2 + b_2^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$

Ответ: Длина MF равна 12 см, длина MK равна 13 см.

Задача 4.

Из точки M к плоскости α проведены наклонные MK и MC и перпендикуляр. Условие неполное, решение отсутствует.