№ 1 • Постройте график функции: 1) y = x² + 2x – 8; 2) y = x²-2x; 3) y = -x² + 4x - 2 4) y = 2x²-2x- 1) Направление ветвей 2)Координаты вершины: xB = -b/2a, yB = f(xB) 3)Остальные точки

Задача №1: Постройте график функции

Давай разберем по порядку каждую функцию и определим основные характеристики для построения графика.

1) \( y = x^2 + 2x - 8 \)

Сначала определим направление ветвей параболы. Так как коэффициент при \( x^2 \) равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Теперь найдем координаты вершины параболы. Формула для x-координаты вершины: \( x_B = \frac{-b}{2a} \). В нашем случае \( a = 1 \) и \( b = 2 \), поэтому:

\[ x_B = \frac{-2}{2 \cdot 1} = -1 \]

Теперь найдем y-координату вершины, подставив \( x_B \) в уравнение функции:

\[ y_B = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9 \]

Итак, вершина параболы находится в точке \( (-1, -9) \).

Для построения графика нам нужно еще несколько точек. Давай возьмем значения x, близкие к вершине:

• Если \( x = -3 \), то \( y = (-3)^2 + 2 \cdot (-3) - 8 = 9 - 6 - 8 = -5 \)
• Если \( x = 1 \), то \( y = (1)^2 + 2 \cdot (1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5 \)

Таким образом, у нас есть точки \( (-3, -5) \) и \( (1, -5) \).

2) \( y = x^2 - 2x \)

Определим направление ветвей. Коэффициент при \( x^2 \) равен 1 (положительное число), значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы: \( x_B = \frac{-b}{2a} \). В нашем случае \( a = 1 \) и \( b = -2 \), поэтому:

\[ x_B = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1 \]

Теперь найдем y-координату вершины, подставив \( x_B \) в уравнение функции:

\[ y_B = (1)^2 - 2 \cdot (1) = 1 - 2 = -1 \]

Итак, вершина параболы находится в точке \( (1, -1) \).

Для построения графика нам нужно еще несколько точек:

• Если \( x = -1 \), то \( y = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3 \)
• Если \( x = 3 \), то \( y = (3)^2 - 2 \cdot (3) = 9 - 6 = 3 \)

Таким образом, у нас есть точки \( (-1, 3) \) и \( (3, 3) \).

3) \( y = -x^2 + 4x - 3 \)

Определим направление ветвей. Коэффициент при \( x^2 \) равен -1 (отрицательное число), значит, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы: \( x_B = \frac{-b}{2a} \). В нашем случае \( a = -1 \) и \( b = 4 \), поэтому:

\[ x_B = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = 2 \]

Теперь найдем y-координату вершины, подставив \( x_B \) в уравнение функции:

\[ y_B = -(2)^2 + 4 \cdot (2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \]

Итак, вершина параболы находится в точке \( (2, 1) \).

Для построения графика нам нужно еще несколько точек:

• Если \( x = 0 \), то \( y = -(0)^2 + 4 \cdot (0) - 3 = -3 \)
• Если \( x = 4 \), то \( y = -(4)^2 + 4 \cdot (4) - 3 = -16 + 16 - 3 = -3 \)

Таким образом, у нас есть точки \( (0, -3) \) и \( (4, -3) \).

4) \( y = 2x^2 - 2x - 4 \)

Определим направление ветвей. Коэффициент при \( x^2 \) равен 2 (положительное число), значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы: \( x_B = \frac{-b}{2a} \). В нашем случае \( a = 2 \) и \( b = -2 \), поэтому:

\[ x_B = \frac{-(-2)}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} = 0.5 \]

Теперь найдем y-координату вершины, подставив \( x_B \) в уравнение функции:

\[ y_B = 2 \cdot (0.5)^2 - 2 \cdot (0.5) - 4 = 2 \cdot 0.25 - 1 - 4 = 0.5 - 1 - 4 = -4.5 \]

Итак, вершина параболы находится в точке \( (0.5, -4.5) \).

Для построения графика нам нужно еще несколько точек:

• Если \( x = -1 \), то \( y = 2 \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 4 = 2 + 2 - 4 = 0 \)
• Если \( x = 2 \), то \( y = 2 \cdot (2)^2 - 2 \cdot (2) - 4 = 8 - 4 - 4 = 0 \)

Таким образом, у нас есть точки \( (-1, 0) \) и \( (2, 0) \).