№ 2. На расстоянии 9 м от центра шара проведено сечение, длина окружно- сти которого равна 24π см. Найдите объем меньшего шарового сег- мента отсекаемого плоскостью сечения

Ответ: 144π(10-√91) см³

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем радиус сечения

  Длина окружности сечения равна 24π см. Используем формулу длины окружности: C = 2πr, где r – радиус сечения.

  \[2\pi r = 24\pi\] \[r = \frac{24\pi}{2\pi} = 12 \text{ см}\]
• Шаг 2: Найдем радиус шара

  Расстояние от центра шара до сечения равно 9 см. Обозначим радиус шара как R. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара, радиусом сечения и расстоянием от центра шара до сечения.

  \[R^2 = r^2 + h^2\] \[R^2 = 12^2 + 9^2\] \[R^2 = 144 + 81 = 225\] \[R = \sqrt{225} = 15 \text{ см}\]
• Шаг 3: Найдем высоту шарового сегмента

  Высота меньшего шарового сегмента равна разности между радиусом шара и расстоянием от центра шара до сечения.

  \[h = R - d\] \[h = 15 - 9 = 6 \text{ см}\]
• Шаг 4: Найдем объем шарового сегмента

  Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:

  \[V = \frac{1}{3}\pi h^2(3R - h)\]

  Подставляем известные значения:

  \[V = \frac{1}{3}\pi (6^2)(3 \cdot 15 - 6)\] \[V = \frac{1}{3}\pi (36)(45 - 6)\] \[V = \frac{1}{3}\pi (36)(39)\] \[V = \pi (12)(39) = 468\pi \text{ см}^3\]

Ответ: 468π см³