№ 16. На сторонах PQ и QR параллелограмма PQRS отмечены точки X и Y. Известно, что X – середина стороны PQ, а точка Y делит сторону QR в отношении QY : YR = 2 : 3. Найдите площадь треугольника XYS, если площадь параллелограмма PQRS равна 45.

Решение:

Смотри, тут всё просто: нужно выразить площадь треугольника XYS через площадь параллелограмма PQRS, используя соотношения сторон.

Пошаговое решение:

1. Обозначим площадь параллелограмма PQRS как S. Тогда S = 45.

2. Пусть PQ = a и QR = b. Тогда площадь параллелограмма равна: S = a * h, где h – высота, опущенная на сторону a.

3. Так как X – середина PQ, то PX = XQ = a/2.

4. Так как QY : YR = 2 : 3, то QY = (2/5) * b и YR = (3/5) * b.

5. Площадь треугольника PQS равна половине площади параллелограмма, то есть S(PQS) = S/2 = 45/2 = 22.5.

6. Площадь треугольника XQS составляет половину площади треугольника PQS, так как XQ = a/2, то S(XQS) = S(PQS)/2 = 22.5/2 = 11.25.

7. Площадь треугольника YRS можно найти, зная, что YR = (3/5) * b и зная высоту параллелограмма. Площадь треугольника QRS равна половине площади параллелограмма, то есть S(QRS) = S/2. Значит, площадь YRS = (3/5) * S(QRS) = (3/5) * (S/2) = (3/10) * S = (3/10) * 45 = 13.5.

8. Площадь треугольника XYS можно найти, вычитая из площади параллелограмма площади треугольников XQS и YRS, а также площадь треугольника PXS.

   Площадь PXS = 1/2 * PX * h = 1/2 * a/2 * h = 1/4 * a * h = 1/4 * S = 1/4 * 45 = 11.25

9. S(XYS) = S - S(XQS) - S(YRS) - S(PXS) = 45 - 11.25 - 13.5 - 11.25 = 9

Ответ: 9