№ 550 Найдите у.

Рассмотрим рисунок. Дано: \(\triangle ABC\), \(CA \perp AB\), \(NM \perp MB\), \(AM = 20\), \(MB = 8\), \(NB = 10\). Найти: \(CA\).

Решение.

По теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, \(NB^2=MB \cdot AB\).

\(AB = AM + MB = 20 + 8 = 28\).

Проверим, выполняется ли равенство:

\(10^2=8 \cdot 28\);

\(100=224\) – неверно, значит, \(BN\) не высота.

Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle MBN\). У них \(\angle B\) – общий, \(\angle A = \angle NMB = 90^\circ\), следовательно, \(\triangle ABC \sim \triangle MBN\) (по двум углам), значит, \(\frac{AC}{NM}=\frac{AB}{MB}\), \(AC=\frac{NM \cdot AB}{MB}\).

По теореме Пифагора для \(\triangle MBN\): \(NM^2=NB^2-MB^2\);

\(NM^2=10^2-8^2=100-64=36\);

\(NM=\sqrt{36}=6\).

Тогда \(AC=\frac{6 \cdot 28}{8}=\frac{6 \cdot 7}{2}=3 \cdot 7=21\).

Ответ: 21