№ 145. Разложите на множители: 1) x² + 2xy + y² – 64; 2) m² + 16n2 + 8mn – b²; 3) x²y³ -xy + y - y³; 4) a³ + 27 – 3a – a²; 5) x12 - 6x10 + 9x8 – 36; 6) b3 + 64a³ + b2 + 8ba + 16a2;

Разложим на множители данные выражения.

1) $$x^2 + 2xy + y^2 - 64$$

Заметим, что $$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$$, и $$64 = 8^2$$, поэтому можем применить формулу разности квадратов $$(a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)$$.

$$(x + y)^2 - 8^2 = (x + y - 8)(x + y + 8)$$

Ответ: $$(x + y - 8)(x + y + 8)$$

---

2) $$m^2 + 16n^2 + 8mn - b^2$$

Заметим, что $$m^2 + 16n^2 + 8mn = m^2 + 2 \cdot m \cdot 4n + (4n)^2 = (m + 4n)^2$$. Получаем:

$$(m + 4n)^2 - b^2$$

Применим формулу разности квадратов: $$(a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)$$.

$$(m + 4n - b)(m + 4n + b)$$

Ответ: $$(m + 4n - b)(m + 4n + b)$$

---

3) $$x^2y^3 - xy + y - y^3$$

Сгруппируем члены следующим образом: $$(x^2y^3 - xy) + (y - y^3)$$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $$xy(xy^2 - 1) + y(1 - y^2)$$.

Заметим, что $$xy^2 - 1 = -(1 - xy^2)$$, поэтому можем вынести $$-(1 - xy^2)$$ за скобки:

$$xy(xy^2 - 1) - y(y^2 - 1) = xy(xy^2 - 1) - y(y - 1)(y+1)$$. Тут я остановилась.

Сгруппируем члены по-другому: $$(x^2y^3 - y^3) + (y - xy) = y^3(x^2 - 1) + y(1 - x) = y^3(x - 1)(x + 1) - y(x-1) = y(x - 1)[y^2(x + 1) - 1] = y(x - 1)(xy^2 + y^2 - 1)$$

Ответ: $$y(x - 1)(xy^2 + y^2 - 1)$$

---

4) $$a^3 + 27 - 3a - a^2$$

Представим $$27 = 3^3$$ и используем формулу суммы кубов $$(a^3 + b^3) = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$.

$$a^3 + 3^3 - 3a - a^2 = (a + 3)(a^2 - 3a + 9) - (3a + a^2)$$

Изменим порядок членов $$(a^3 + 27) - (a^2 + 3a) = (a + 3)(a^2 - 3a + 9) - a(a + 3) = (a + 3)(a^2 - 3a + 9 - a) = (a + 3)(a^2 - 4a + 9)$$

Ответ: $$(a + 3)(a^2 - 4a + 9)$$

---

5) $$x^{12} - 6x^{10} + 9x^8 - 36$$

Сгруппируем члены: $$(x^{12} - 6x^{10} + 9x^8) - 36$$

Вынесем $$x^8$$ за скобки: $$x^8(x^4 - 6x^2 + 9) - 36$$

Заметим, что $$x^4 - 6x^2 + 9 = (x^2 - 3)^2$$

$$x^8(x^2 - 3)^2 - 36$$

Представим $$x^8$$ как $$(x^4)^2$$ и $$36 = 6^2$$. Затем, $$x^8(x^2 - 3)^2 - 36 = (x^4(x^2 - 3))^2 - 6^2$$. Потом, применить разность квадратов, а затем раскрыть скобки.

$$(x^4(x^2 - 3) - 6)(x^4(x^2 - 3) + 6) = (x^6 - 3x^4 - 6)(x^6 - 3x^4 + 6)$$

Ответ: $$(x^6 - 3x^4 - 6)(x^6 - 3x^4 + 6)$$

---

6) $$b^3 + 64a^3 + b^2 + 8ba + 16a^2$$

Представим $$64a^3$$ как $$(4a)^3$$ и используем формулу суммы кубов $$(a^3 + b^3) = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$.

$$b^3 + (4a)^3 + b^2 + 8ba + 16a^2 = (b + 4a)(b^2 - 4ab + 16a^2) + b^2 + 8ba + 16a^2$$

Разложим $$b^2 + 8ba + 16a^2$$ по формуле квадрата суммы $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$. Получаем: $$(b + 4a)^2$$.

$$(b + 4a)(b^2 - 4ab + 16a^2) + (b + 4a)^2 = (b + 4a)[b^2 - 4ab + 16a^2 + b + 4a]$$

Ответ: $$(b + 4a)(b^2 - 4ab + 16a^2 + b + 4a)$$