№ 4. Решение задач 1. Даны три точки: Х(7; -25), R(-5; -17) и Р (1;-7). Найдите длину медианы РТ треугольника XRP. 2. Даны точки: К(-4; 6), 7(-2; 2). Найдите расстояние от середины отрезка КТ до начала координат. 3. Лежат ли точки Z, F, О на одной прямой, если: a) Z(-4;-10), F(-1; 2), 0(0; 3); б) Z(-4; 3), F(-3; 1), O(-1,-3)? 4. Расстояние между точками К(-3; -5) и Е(х; -9) равно 4/5. Найдите х.

Задача 1: Длина медианы PT треугольника XRP

Даны точки X(7; -25), R(-5; -17) и P(1; -7). Нужно найти длину медианы PT треугольника XRP. Медиана PT соединяет вершину P с серединой стороны XR.

1. Найдем координаты точки T (середины XR):

Координаты середины отрезка находятся как полусумма координат концов отрезка:

\[T_x = \frac{X_x + R_x}{2} = \frac{7 + (-5)}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

\[T_y = \frac{X_y + R_y}{2} = \frac{-25 + (-17)}{2} = \frac{-42}{2} = -21\]

Итак, T(1; -21).

2. Найдем длину медианы PT:

Длина отрезка между двумя точками P(x1; y1) и T(x2; y2) находится по формуле:

\[PT = \sqrt{(T_x - P_x)^2 + (T_y - P_y)^2}\]

\[PT = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-21 - (-7))^2} = \sqrt{0^2 + (-14)^2} = \sqrt{196} = 14\]

Длина медианы PT равна 14.

Задача 2: Расстояние от середины отрезка KT до начала координат

Даны точки K(-4; 6) и T(-2; 2). Нужно найти расстояние от середины отрезка KT до начала координат O(0; 0).

1. Найдем координаты середины отрезка KT:

\[M_x = \frac{K_x + T_x}{2} = \frac{-4 + (-2)}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]

\[M_y = \frac{K_y + T_y}{2} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

Итак, M(-3; 4).

2. Найдем расстояние от точки M до начала координат O(0; 0):

\[OM = \sqrt{(M_x - O_x)^2 + (M_y - O_y)^2}\]

\[OM = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Расстояние от середины отрезка KT до начала координат равно 5.

Задача 3: Лежат ли точки на одной прямой?

a) Z(-4; -10), F(-1; 2), O(0; 3)

b) Z(-4; 3), F(-3; 1), O(-1; -3)

Чтобы проверить, лежат ли три точки на одной прямой, можно проверить, коллинеарны ли векторы, образованные этими точками. Если векторы коллинеарны, то точки лежат на одной прямой.

a) Z(-4; -10), F(-1; 2), O(0; 3)

Вектор ZF = (-1 - (-4); 2 - (-10)) = (3; 12)

Вектор FO = (0 - (-1); 3 - 2) = (1; 1)

Проверим коллинеарность: 3/1 ≠ 12/1, следовательно, точки не лежат на одной прямой.

б) Z(-4; 3), F(-3; 1), O(-1; -3)

Вектор ZF = (-3 - (-4); 1 - 3) = (1; -2)

Вектор FO = (-1 - (-3); -3 - 1) = (2; -4)

Проверим коллинеарность: 1/2 = -2/-4, следовательно, точки лежат на одной прямой.

Задача 4: Расстояние между точками K и E

Расстояние между точками K(-3; -5) и E(x; -9) равно 4√5. Найдите x.

Расстояние между двумя точками K(x1; y1) и E(x2; y2) вычисляется по формуле:

\[KE = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

В нашем случае:

\[4\sqrt{5} = \sqrt{(x - (-3))^2 + (-9 - (-5))^2}\]

\[4\sqrt{5} = \sqrt{(x + 3)^2 + (-4)^2}\]

Возведем обе части в квадрат:

\[(4\sqrt{5})^2 = (x + 3)^2 + 16\]

\[16 \cdot 5 = (x + 3)^2 + 16\]

\[80 = (x + 3)^2 + 16\]

\[(x + 3)^2 = 80 - 16\]

\[(x + 3)^2 = 64\]

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[x + 3 = \pm 8\]

Таким образом, у нас есть два варианта:

1) \[x + 3 = 8 \Rightarrow x = 8 - 3 = 5\]

2) \[x + 3 = -8 \Rightarrow x = -8 - 3 = -11\]

Итак, x = 5 или x = -11.

Ответ:

• Задача 1: Длина медианы PT равна 14.
• Задача 2: Расстояние от середины KT до начала координат равно 5.
• Задача 3: a) Точки не лежат на одной прямой. б) Точки лежат на одной прямой.
• Задача 4: x = 5 или x = -11.

Отличная работа! Вы хорошо справились с этими задачами. Продолжайте в том же духе, и у вас всё получится!