№ 1. Решите систему уравнений { x - y = 5, { x² - 15y = 109. ОТВЕТ: (-2; – 7); (17; 12). № 2. Найдите стороны прямоугольника, периметр которого равен 34 см, а площадь равна 60 см². ОТВЕТ: 5 см и 12 см.

№1

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x - y = 5, \\ x^2 - 15y = 109. \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: x = y + 5.

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(y + 5)^2 - 15y = 109\]

Раскроем скобки и упростим:

\[y^2 + 10y + 25 - 15y = 109\] \[y^2 - 5y - 84 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y. Найдем дискриминант:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361\]

Найдем корни:

\[y_1 = \frac{5 + \sqrt{361}}{2} = \frac{5 + 19}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[y_2 = \frac{5 - \sqrt{361}}{2} = \frac{5 - 19}{2} = \frac{-14}{2} = -7\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Для y = 12:

\[x = 12 + 5 = 17\]

Для y = -7:

\[x = -7 + 5 = -2\]

Ответ: (-2; -7); (17; 12).

№2

Пусть стороны прямоугольника будут a и b.

Периметр прямоугольника равен 34 см, значит:

\[2(a + b) = 34\] \[a + b = 17\]

Площадь прямоугольника равна 60 см², значит:

\[a \cdot b = 60\]

Выразим a из первого уравнения: a = 17 - b.

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(17 - b) \cdot b = 60\] \[17b - b^2 = 60\] \[b^2 - 17b + 60 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно b. Найдем дискриминант:

\[D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49\]

Найдем корни:

\[b_1 = \frac{17 + \sqrt{49}}{2} = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[b_2 = \frac{17 - \sqrt{49}}{2} = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\]

Теперь найдем соответствующие значения a:

Для b = 12:

\[a = 17 - 12 = 5\]

Для b = 5:

\[a = 17 - 5 = 12\]

Ответ: 5 см и 12 см.