№ 1. Рисунок 1 Вариант 1. Дано: LA-LB, CO-4, DO-6, ЛО-5. С B Найти: а) ОВ; 6) AC: BD; в) SOC: So A 0 D № 2. В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС-7 см, АС = 6 см, а в треугольнике МИК МК-8 см, ММ-12 см, К№ 14 см. Найдите углы треугольника MNK, если LA-80, L. B-60°, № 3. Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках МиК соответственно так, что МК АС, BM: AM-1: 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см. № 4. В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пересекаются в точке О. А-12 см, ВС-4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника AOD равна 45 см³.

Давай решим все задачи по порядку!

№1

В этой задаче нам даны два треугольника, которые подобны. Это можно доказать, используя два угла: углы при вершине O равны как вертикальные, и углы A и B равны по условию.

Раз треугольники подобны, то их стороны пропорциональны.

а) Найдем OB

Запишем отношение сторон из подобия треугольников: \[\frac{AO}{BO} = \frac{DO}{CO}\]

Подставим известные значения: \[\frac{5}{BO} = \frac{6}{4}\]

Решим уравнение, используя свойство пропорции: \[BO = \frac{5 \cdot 4}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}\]

Итак, OB = 10/3

б) Найдем отношение AC : BD

Запишем отношение сторон из подобия треугольников: \[\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\]

Тогда отношение AC к BD равно отношению AO к BO (или CO к DO): \[\frac{AC}{BD} = \frac{5}{\frac{10}{3}} = \frac{5 \cdot 3}{10} = \frac{3}{2}\]

Либо (что тоже самое) \[\frac{AC}{BD} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

в) Найдем отношение площадей S_AOC : S_BOD

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон, то есть: \[k = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} = \frac{3}{2}\]

Тогда отношение площадей равно: \[\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\]

---

№2

В этой задаче нам даны стороны двух треугольников и два угла одного из них. Нужно найти углы другого треугольника. Сначала определим, подобны ли эти треугольники.

Для треугольника ABC найдем угол C, зная, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам:

\( \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 60^{\circ} = 40^{\circ} \)

Теперь проверим, подобны ли треугольники ABC и MNK. Для этого найдем отношение их сторон:

\( \frac{AB}{MK} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)

\( \frac{BC}{MN} = \frac{7}{12} \)

\( \frac{AC}{KN} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \)

Так как отношения сторон не равны, треугольники ABC и MNK не подобны. Следовательно, мы не можем напрямую перенести углы из треугольника ABC в треугольник MNK.

Так как в условии есть опечатка (сторона KN = 14 см), а нужно найти углы треугольника MNK, можно предположить, что треугольники все-таки подобны, а сторона KN должна быть 12 см. В этом случае все стороны относятся как 1:2, и \(\angle M = 80^{\circ}\), \(\angle N = 60^{\circ}\), \(\angle K = 40^{\circ}\)

---

№3

В этой задаче нам дан треугольник ABC, в котором прямая пересекает стороны AB и BC в точках M и K соответственно, так что MK || AC и BM : AM = 1 : 4. Периметр треугольника ABC равен 25 см. Нужно найти периметр треугольника BMK.

Так как MK || AC, то треугольники BMK и BAC подобны. Отношение BM к BA равно 1/5 (так как BM : AM = 1 : 4, значит BM составляет 1 часть из 5).

Периметр треугольника BMK относится к периметру треугольника ABC как коэффициент подобия, то есть 1/5.

Периметр BMK = (1/5) * Периметр ABC = (1/5) * 25 см = 5 см.

---

№4

В этой задаче нам дана трапеция ABCD, в которой AD и BC - основания. Диагонали пересекаются в точке O. Известно, что AD = 12 см, BC = 4 см. Площадь треугольника AOD равна 45 см². Нужно найти площадь треугольника BOC.

Треугольники BOC и AOD подобны (углы при основаниях равны как накрест лежащие, и углы при вершине O равны как вертикальные).

Коэффициент подобия k = BC / AD = 4 / 12 = 1 / 3.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть (1/3)² = 1/9.

S_BOC / S_AOD = 1/9.

S_BOC = (1/9) * S_AOD = (1/9) * 45 см² = 5 см².

Ответ:

№1

a) OB = 10/3

б) AC : BD = 2/3 (или 3/2)

в) S_AOC : S_BOD = 4/9

№2. Если KN = 12 см, то \(\angle M = 80^{\circ}\), \(\angle N = 60^{\circ}\), \(\angle K = 40^{\circ}\)

№3. Периметр BMK = 5 см.

№4. S_BOC = 5 см².