№ 2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота пирамиды — √13 см. Найдите: 1) боковое ребро пирамиды; 2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Решаем задачу по геометрии!

Решение:

1. Найдём медиану основания:

   В правильном треугольнике медиана также является высотой и биссектрисой. Медиана делит сторону пополам.

   Медиана (m) правильного треугольника вычисляется по формуле: \[ m = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \], где a – сторона треугольника.

   Подставляем значение стороны (a = 6 см): \[ m = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3} \] см.

2. Найдём расстояние от вершины основания до центра основания (R):

   Для правильного треугольника это расстояние составляет 2/3 от длины медианы.

   \[ R = \frac{2}{3} \cdot m = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \] см.

3. Найдём боковое ребро пирамиды (l):

   Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, расстоянием R и боковым ребром.

   \[ l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{13 + 12} = \sqrt{25} = 5 \] см.

4. Найдём апофему (высоту боковой грани) пирамиды (a):

   Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного апофемой, половиной стороны основания и высотой пирамиды.

   \[ a = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 + (\frac{6}{2})^2} = \sqrt{13 + 9} = \sqrt{22} \] см.

5. Площадь боковой поверхности пирамиды:

   Площадь боковой поверхности (S) правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a \], где P – периметр основания, a – апофема.

   Периметр основания: \[ P = 3 \cdot a = 3 \cdot 6 = 18 \] см.

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot \sqrt{22} = 9\sqrt{22} \] см².

Ответ: 1) Боковое ребро пирамиды: 5 см; 2) Площадь боковой поверхности пирамиды: \( 9\sqrt{22} \) см²