№ 4. Стороны АС и ВС треугольника АВС равны. Луч СМ является биссектрисой внешнего угла BCD, угол MCD равен 53°. Найдите угол ВАС. Ответ дайте в градусах.

Пошаговое решение:

• Так как CM – биссектриса угла BCD, то угол BCD равен \( 2 \cdot \angle MCD = 2 \cdot 53^\circ = 106^\circ \).
• Угол BCA смежный с углом BCD, поэтому \( \angle BCA = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ \).
• Треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), следовательно, углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle ABC \).
• Сумма углов треугольника равна 180°, значит, \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ \).
• Так как \( \angle BAC = \angle ABC \), то \( 2 \cdot \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ \).
• Отсюда \( 2 \cdot \angle BAC = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ \).
• Значит, \( \angle BAC = \frac{106^\circ}{2} = 53^\circ \).

Ответ: 53°