№ 3. Угол между двумя радиусами ОА и ОВ окружности равен 120 градусов, диаметр окружности равен 12 см. Найдите расстояние от центра окружности до хорды АВ. Ответ запишите в сантиметрах.

Краткая запись:

• ∠АОВ = 120°
• Диаметр = 12 см
• Найти: Расстояние от центра до хорды АВ

Пошаговое решение:

1. Найдем радиус окружности:
   Радиус равен половине диаметра: \( R = \frac{D}{2} \).
   \( R = \frac{12}{2} = 6 \) см.
2. Опустим перпендикуляр из центра О на хорду АВ. Пусть точка касания - Н. Этот перпендикуляр является расстоянием от центра окружности до хорды АВ.
   \( OH \) – высота и биссектриса в равнобедренном треугольнике \( AOB \). Тогда \( \angle AOH = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{120}{2} = 60 \)°.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AOH \), в котором \( \angle AHO = 90 \)°, \( \angle AOH = 60 \)°, \( OA = R = 6 \) см.
   Тогда, \( OH = OA \cdot cos(\angle AOH) \).
   \( OH = 6 \cdot cos(60°) \).
   Так как \( cos(60°) = \frac{1}{2} \), то \( OH = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) см.

Ответ: 3 см