№ 1. Угол в - острый угол. Найдите значения: a) cos ẞ, если sin ẞ = 1 2 ; √3 6) sin ẞ, если cos ẞ=; 2 в) tg ẞ, если sin β = 5 13 .

Решение:

а) Дано: sin β = \(\frac{1}{2}\). Найти: cos β.

Используем основное тригонометрическое тождество: sin² β + cos² β = 1

cos² β = 1 - sin² β

cos² β = 1 - \((\frac{1}{2})^2\) = 1 - \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)

cos β = ±\(\sqrt{\frac{3}{4}}\) = ±\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Так как угол β острый, cos β > 0, следовательно, cos β = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

б) Дано: cos β = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Найти: sin β.

Используем основное тригонометрическое тождество: sin² β + cos² β = 1

sin² β = 1 - cos² β

sin² β = 1 - \((\frac{\sqrt{3}}{2})^2\) = 1 - \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)

sin β = ±\(\sqrt{\frac{1}{4}}\) = ±\(\frac{1}{2}\)

Так как угол β острый, sin β > 0, следовательно, sin β = \(\frac{1}{2}\)

в) Дано: sin β = \(\frac{5}{13}\). Найти: tg β.

Используем основное тригонометрическое тождество: sin² β + cos² β = 1

cos² β = 1 - sin² β

cos² β = 1 - \((\frac{5}{13})^2\) = 1 - \(\frac{25}{169}\) = \(\frac{169 - 25}{169}\) = \(\frac{144}{169}\)

cos β = ±\(\sqrt{\frac{144}{169}}\) = ±\(\frac{12}{13}\)

Так как угол β острый, cos β > 0, следовательно, cos β = \(\frac{12}{13}\)

tg β = \(\frac{sin β}{cos β}\) = \(\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}\) = \(\frac{5}{13} \cdot \frac{13}{12}\) = \(\frac{5}{12}\)